Liczba fikcyjna

Strona tytułowa dzieła Artis Magnæ, w którym stworzone zostało pojęcie liczby fikcyjnej, stanowiące początki pojęcia liczb zespolonych
Konstrukcja pierwiastka z Geometrii Kartezjusza

Liczba fikcyjna (ficta) – archaiczne pojęcie matematyczne powstałe we wczesnych początkach odkrywania liczb zespolonych. Pojęcie to wprowadził włoski matematyk Girolamo Cardano w dziele Artis Magnæ, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus opublikowanym w 1545 roku[1].

Dawna matematyka nie pozwalała na odrywanie działań matematycznych od ich interpretacji geometrycznej, tzw. arytmetyki odcinków oraz jeszcze szerszych arytmetyk, obejmujących także bardziej skomplikowane figury geometryczne, takie jak np. krzywe[2]. Przykładowo:

  • własności dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania uzasadniano poprzez dokonywanie odpowiednich konstrukcji geometrycznych[3];
  • miejsca zerowe wielomianów również wyznaczano poprzez odpowiednie konstrukcje geometryczne, np. w równaniu postaci niewiadoma była interpretowana jako odcinek o długości [4];
  • pierwiastek był interpretowany jako długość boku kwadratu o polu [5].

Geometria stanowiła duże obciążenie dla rozwoju algebry[5]. Matematycy XVI i XVII-wieczni, przechodząc z interpretacji geometrycznej na interpretację na liczbach i literach, natrafiali na pewne trudności i niewyjaśnione paradoksy, przez co musieli jeszcze mocniej odchodzić od interpretacji geometrycznej i tworzyć nowe wyjaśnienia dla uzyskiwanych przez nich wyników. I tak np. Kartezjusz rozwiązanie równania nazywał fałszywym pierwiastkiem (bowiem nie istnieje odcinek o długości )[6].

Na bardziej skomplikowany problem natknął się Cardano. Rozwiązując równanie Cardano doszedł do wyrażenia i uznał, że istnienie takiej liczby oznaczałoby istnienie figury o ujemnym polu[1]. Przekraczało to wyobraźnię Cardano[1]. Liczby tego typu nazwał fikcyjnymi[1].

Kartezjusz znał traktat Cardano, a nawet odwoływał się do niego w Geometrii (1637)[5]. Kartezjusz lepiej zrozumiał naturę tych dziwnych wyrażeń i zamiast liczb fikcyjnych nadał im nazwę liczby urojone[7], która przyjęła się do dziś. Opisał to następująco:

(...) zarówno prawdziwe, jak i fałszywe pierwiastki nie są zawsze rzeczywiste[a], a czasem tylko urojone[b], co oznacza, że w każdym równaniu można zawsze wyobrazić sobie ich tyle, ile wymieniłem. Zdarza się jednak, że nie ma żadnej wielkości odpowiadającej tym urojonym, w ten sposób znowu możemy sobie wyobrazić trzy w tym,

ale tylko jeden jest rzeczywisty, zaś dwa pozostałe, powiększane, pomniejszane lub mnożone w przedstawiony przeze mnie sposób, pozostaną urojone.

[7]

Nie ma jednak dowodów na to, że Kartezjusz pojął liczby urojone tak, jak matematycy rozumieją je współcześnie[8]. Prawdopodobnie wiedział o liczbach zespolonych tylko tyle, że istnieją pierwiastki równań kwadratowych, jak te wskazane przez niego[8]. Współcześnie wiadomo, że w ciele liczb zespolonych nie istnieje porządek liniowy zgodny z działaniami, dlatego nie porównuje się liczb zespolonych jako większych/mniejszych – z kolei Kartezjusz pisze o powiększaniu i pomniejszaniu liczby zespolonej[8].

Uwagi

  1. ↑ Oryg.: reelles.
  2. ↑ Oryg.: imaginaires.

Przypisy

  1. ↑ a b c d Kartezjusz ↓, s. 292–293.
  2. ↑ Kartezjusz ↓, s. 291.
  3. ↑ Kartezjusz ↓, s. 146–165.
  4. ↑ Kartezjusz ↓, s. 200.
  5. ↑ a b c Kartezjusz ↓, s. 293.
  6. ↑ Kartezjusz ↓, s. 372.
  7. ↑ a b Kartezjusz ↓, s. 380.
  8. ↑ a b c Kartezjusz ↓, s. 282–283.

Bibliografia

  • Kartezjusz: Geometria. tłum. i kom. Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka. Kraków: TAiWPN UNIWERSITAS, 2015. ISBN 978-83-242-2759-4.

Media użyte na tej stronie

Geometrie arrel quadrada.png
Arrel quadrada a la Geometria de Descartes
ArsMagna.jpg
Cover of Ars Magna