Liczby Cullena

Liczby Cullena – liczby naturalne postaci ${\displaystyle n\cdot 2^{n}+1}$ (oznaczane przez ${\displaystyle C_{n}}$). Jako pierwszy liczby te badał James Cullen w 1905 roku.

Zostało wykazane, że istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Cullena. Jedyne odkryte dotychczas liczby pierwsze Cullena to liczby ${\displaystyle C_{n}}$ dla ${\displaystyle n}$ = 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (ciąg A005849 w OEIS). Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele pierwszych liczb Cullena.

W kwietniu 2005 Mark Rodenkirch odkrył największą znaną liczbę pierwszą Cullena dla ${\displaystyle n=1\,354\,828.}$

Liczba Cullena ${\displaystyle C_{n}}$ dzieli się przez ${\displaystyle p=2n-1,}$ jeżeli ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą postaci ${\displaystyle 8k-3.}$ Co więcej, na podstawie małego twierdzenia Fermata, jeżeli ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą większą od 2, to ${\displaystyle p}$ dzieli ${\displaystyle C_{m(k)}}$ dla każdego ${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)\cdot (p-1)-k}$ (dla ${\displaystyle k>0}$). Pokazano też, że liczba pierwsza ${\displaystyle p}$ dzieli ${\displaystyle C_{(p+1)/2},}$ kiedy symbol Jacobiego ${\displaystyle (2|p)}$ wynosi –1, oraz że p dzieli ${\displaystyle C_{(3p-1)/2},}$ kiedy symbol Jacobiego ${\displaystyle (2|p)}$ wynosi +1.

Nie wiadomo, czy istnieje taka liczba pierwsza ${\displaystyle p,}$ że ${\displaystyle C_{p}}$ też jest liczbą pierwszą.

Czasami definiuje się uogólnione liczby Cullena jako liczby postaci ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1,}$ gdzie ${\displaystyle n+2>b.}$ Jeżeli liczbę pierwszą można zapisać w tej postaci, to nazywa się ją uogólnioną liczbą pierwszą Cullena. Liczby Woodalla są czasem nazywane liczbami Cullena drugiego rodzaju.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cullen Number, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• The Primes Glossary: Cullen prime