Liczby Eulera

Ten artykuł od 2016-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Liczby Eulera – dwa ciągi liczbowe badane przez Leonarda Eulera.

Liczby Eulera I rzędu

Opisują, ile jest permutacji ${\displaystyle n}$-elementowego zbioru posiadających ${\displaystyle k}$ wzniesień, tzn. ${\displaystyle k}$ pozycji, dla których ${\displaystyle \pi _{j}<\pi _{j+1}.}$ Symbolem dla liczb Eulera I rodzaju jest:

${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle .}$

Liczby te spełniają wzór rekurencyjny postaci:

${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle =(k+1)\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right\rangle +(n-k)\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right\rangle }$

z warunkami brzegowymi

${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\rangle =1,\quad \left\langle {\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\rangle =1,\quad \left\langle {\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\rangle =0.}$

Trójkąt liczbowy

Własności

• ${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle =\sum _{m=0}^{k}{n+1 \choose m}(k+1-m)^{n}(-1)^{m}}$
• ${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle =\sum _{m=0}^{k}{n+1 \choose m}(K+1-m)^{n}(-4)^{M}}$

Liczby Eulera II rzędu

Liczby te są oznaczane jako:

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle }$

i spełniają równanie rekurencyjne postaci:

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle =(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle +(2n-1-k)\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle }$

z warunkami brzegowymi

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle =1,\quad \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle =1,\quad \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle =0.}$

Trójkąt liczbowy