Liczby całkowite

Liczby całkowite – liczby naturalne ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}}$ oraz liczby przeciwne do nich ${\displaystyle \{-1,-2,-3,\dots \},}$ a także liczba zero^[1]. Są uogólnieniem zbioru liczb naturalnych na zbiór, w którym wykonalne jest odejmowanie. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w większości szkół podstawowych i średnich, w celu ułatwienia skojarzenia z polską nazwą, stosuje się symbol ${\displaystyle \mathbf {C} ,}$ przy czym MEN zaleca używanie oznaczenia ${\displaystyle \mathbb {Z} }$^[2].

Definicja formalna

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}}$ relacji równoważności

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c.}$

Intuicyjnie ${\displaystyle (a,b)}$ reprezentuje różnicę ${\displaystyle a-b.}$

Niech ${\displaystyle [(a,b)]}$ oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest ${\displaystyle (a,b).}$ Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}/\sim }$ definiuje się jako:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].}$

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera.

Zerem tego pierścienia jest ${\displaystyle [(0,0)],}$ elementem przeciwnym do ${\displaystyle [(a,b)]}$ jest element ${\displaystyle [(b,a)].}$ Jedynką jest ${\displaystyle [(1,0)].}$

Podzbiór elementów postaci ${\displaystyle [(a,0)]}$ jest izomorficzny z ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}.}$

Ponieważ ${\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]+[(0,b)]}$ oraz ${\displaystyle [(0,b)]}$ elementem przeciwnym do ${\displaystyle [(b,0)],}$ więc

${\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]-[(b,0)].}$

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczby ${\displaystyle [(a,b)],}$ dla których ${\displaystyle a>b}$ nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby ${\displaystyle [(a,b)],}$ dla których ${\displaystyle a<b}$ nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Liczność

Zbiór liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x,&{\text{gdy }}x>0\\-2x+1,&{\text{gdy }}x\leqslant 0\end{cases}}.}$

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczba, liczby całkowite (zapis komputerowy)
• równanie diofantyczne

Przypisy