Liczby niewymierne

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można przedstawić w postaci ilorazu liczby całkowitej i liczby całkowitej różnej od zera. Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dając w efekcie przestrzeń zupełną.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe^[1].

Historia

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Przykłady

• Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby całkowitej. Zatem na przykład ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ oraz ${\displaystyle {\sqrt {99992}}}$ są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).
• Każda liczba przestępna jest niewymierna. Taką liczbą jest np. liczba π, innym przykładem jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
• Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów np. ${\displaystyle \log _{10}2,}$ ${\displaystyle \log _{2}3.}$

  Dowód nie wprost dla ${\displaystyle \log _{2}3.}$ Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich ${\displaystyle m}$ oraz ${\displaystyle n}$ zachodziła równość ${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}},}$ to mielibyśmy ${\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}=3,}$ i wobec tego także ${\displaystyle 2^{m}=3^{n}}$ – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem ${\displaystyle \log _{2}3}$ nie jest wymierny.

Ułamki łańcuchowe

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Zbiór liczb niewymiernych

Jako podprzestrzeń linii prostej ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} .}$

Zobacz też

• liczby algebraiczne
• liczby wymierne
• niewspółmierność interteoretyczna

Przypisy