Liczby zaprzyjaźnione

Liczby zaprzyjaźnione – para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych (mniejszych od tej liczby) każdej z tych liczb równa się drugiej liczbie ^[1][2][3].

Para Pitagorasa

Pierwszą parą takich liczb jest 220 i 284, ponieważ^[4][3]:

• 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284),
• 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220).

Została ona podana już przez Pitagorasa. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości^[5].

Pary mniejsze od miliona

Oto wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od miliona:

• 220 i 284
• 1184 i 1210
• 2620 i 2924
• 5020 i 5564
• 6232 i 6368
• 10744 i 10856
• 12285 i 14595
• 17296 i 18416
• 63020 i 76084
• 66928 i 66992
• 67095 i 71145
• 69615 i 87633
• 79750 i 88730
• 100485 i 124155
• 122265 i 139815
• 122368 i 123152
• 141664 i 153176
• 142310 i 168730
• 171856 i 176336
• 176272 i 180848
• 185368 i 203432
• 196724 i 202444
• 280540 i 365084
• 308620 i 389924
• 319550 i 430402
• 356408 i 399592
• 437456 i 455344
• 469028 i 486178
• 503056 i 514736
• 522405 i 525915
• 600392 i 669688
• 609928 i 686072
• 624184 i 691256
• 635624 i 712216
• 643336 i 652664
• 667964 i 783556
• 726104 i 796696
• 802725 i 863835
• 879712 i 901424
• 898216 i 980984
• 947835 i 1125765
• 998104 i 1043096

Niektóre pary większe od miliona

Kilka kolejnych liczb zaprzyjaźnionych większych od miliona:

• 1077890 i 1099390
• 1154450 i 1189150
• 1156870 i 1292570
• 1175265 i 1438983
• 1185376 i 1286744
• 1280565 i 1340235
• 1328470 i 1483850
• 1358595 i 1486845
• 1392368 i 1464592
• 1466150 i 1747930
• 1468324 i 1749212
• 1511930 i 1598470

Wzór Tabita

Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita ibn Qurra (826–901)^[1][6] ok. roku 850.

Niech:

• ${\displaystyle n>1}$ będzie liczbą naturalną,
• ${\displaystyle p=3\cdot 2^{n-1}-1,}$
• ${\displaystyle q=3\cdot 2^{n}-1,}$
• ${\displaystyle r=9\cdot 2^{2n-1}-1.}$

Jeśli ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle q}$ i ${\displaystyle r}$ są liczbami pierwszymi, to

${\displaystyle 2^{n}pq}$ i ${\displaystyle 2^{n}r}$

są liczbami zaprzyjaźnionymi^[1][6].

Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć pary (220, 284), (17296, 18416) oraz (9363584, 9437056), ale już nie np. (6232, 6368). Metoda ta sprawdza się dla ${\displaystyle n}$ = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego ${\displaystyle n<=191600}$^[7].

Wzór Eulera

Euler uogólnił wzór Tabita, podając regułę^[7][8], która umożliwia znajdowanie wszystkich liczb zaprzyjaźnionych w postaci par spełniających poniższy warunek:

Jeżeli liczby naturalne ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle n,}$ gdzie ${\displaystyle k\leqslant n,}$ są takie, że wszystkie trzy liczby

${\displaystyle p=(2^{k}+1)2^{n+1-k}-1,}$

${\displaystyle q=(2^{k}+1)2^{n+1}-1,}$

${\displaystyle r=(2^{k}+1)^{2}2^{2n+2-k}-1}$

są pierwsze, to wtedy liczby ${\displaystyle 2^{n+1}pq}$ i ${\displaystyle 2^{n+1}r}$ tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.

Dla ${\displaystyle k=1}$ otrzymujemy wzór Tabita^[7].

Poszukiwania liczb zaprzyjaźnionych

Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Tematem tym zajmował się również polski siedemnastowieczny matematyk Jan Brożek. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) „nieprzyjazne”. W 2001 roku znano milion liczb zaprzyjaźnionych^[9], w 2007 roku prawie 12 mln^[10]. Obecnie znaleziono ponad miliard takich liczb^[11].

Zobacz też

• liczby doskonałe
• liczby towarzyskie

Przypisy

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna. Matematyka. Przewodniczący komitetu redakcyjnego Włodzimierz Waliszewski. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8.
• Encyklopedia matematyka. Redaktor prowadzący Agnieszka Nawrot Sabak. Kraków: Wydawnictwo „Greg”, 2010. ISBN 978-83-7517-015-3.
• Mariano García. A million new amicable pairs. „Journal of Integer Sequences”. 4, s. 1–3, 2001. Jeffrey O. Shallit. Basking Ridge NJ: AT & T Corp. ISSN 1530-7638 (ang.). 
• Mariano García, Jan Munch Pedersen, Herman J.J. te Riele. Amicable pairs, a survey. „Report PNA, Probability, Networks and Algorithms”, 2003-07-31. Amsterdam: Centrum voor Wiskunde en Informatica. ISSN 1386-3711 (ang.). 
• Roger Webster, Gareth Williams. Friends in High Places. „Mathematical Spectrum”. 42 (2), s. 54–58, 2010. Londyn: Applied Probability Trust. ISSN 0025-5653 (ang.). 

Linki zewnętrzne

• Liczby zaprzyjaźnione (math.edu.pl). [dostęp 2016-06-07].