Linia długa

Linia długa – linia transmisyjna przenosząca sygnały. Określenie stosowane przede wszystkim w teorii obwodów i technice mikrofal.

Linią długą jest każde urządzenie (pierwotnie linie przewodowe), w którym wymiar długości porównywalny jest z długością fali przebiegu elektrycznego rozchodzącego się w urządzeniu.

Przykładem linii długich są m.in. kable koncentryczne czy linia elektroenergetyczna napowietrzna wysokiego napięcia o znacznej długości (954 km).

W technice mikrofal definiuje się linię długą jako nieskończenie długą linię transmisyjną będącą idealnym odbiornikiem energii. W praktyce jest to linia transmisyjna o skończonej długości zakończona impedancją dopasowaną.

Linia długa jest charakteryzowana przez następujące parametry:

• R rezystancja jednostkowa linii [Ω/m],
• L indukcyjność jednostkowa linii [H/m],
• G konduktancja jednostkowa linii [S/m],
• C pojemność jednostkowa linii [F/m].

• Impedancja falowa linii:

${\displaystyle Z_{0}={\frac {U_{0}}{I_{0}}}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}.}$

• Stała propagacji:

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)}}=\alpha +j\beta .}$

Część rzeczywista ${\displaystyle \alpha }$ to tzw. stała tłumienia wyr. w [Np/m], podawana też w [dB/m], zaś część urojona ${\displaystyle \beta =2\pi /\lambda =\omega /v}$ to stała fazowa wyr. w [rad/m]. ${\displaystyle \omega }$ jest pulsacją. Dla linii bezstratnych ${\displaystyle R=0,}$ ${\displaystyle G=0,}$ ${\displaystyle \alpha =0.}$ Prędkość fazowa fali w linii bezstratnej wynosi:

${\displaystyle v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}},}$

i jest zawsze mniejsza od prędkości światła w próżni ${\displaystyle c.}$ Przykłady linii transmisyjnych (linie ciągłe są liniami sił pola elektrycznego E, zaś przerywane magnetycznego H, ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ – względna przenikalność elektryczna i ${\displaystyle \mu _{r}}$ – względna przenikalność magnetyczna ośrodka o charakterze dielektryka lub magnetyka, który w linii pełni rolę izolatora):

Linia koncentryczna

Linia dwuprzewodowa

Niesymetryczna linia paskowa

Do najpopularniejszych należy linia koncentryczna. Ma ona tę zaletę, że linie pól elektrycznego i magnetycznego zamykają się wewnątrz linii.

Schemat zastępczy odcinka linii długiej o długości ${\displaystyle \Delta l}$ przedstawia poniższy rysunek:

Schemat zastępczy odcinka linii długiej

Schemat ten wyjaśnia znaczenie parametrów jednostkowych linii.

Korzystając z prawa Ohma, można dla tegoż odcinka linii zapisać układ równań:

${\displaystyle \left\{{\Delta u(l)=(R+j\omega L)\Delta l\,i(l) \atop \Delta i(l)=(G+j\omega C)\Delta l\,u(l)}\right.}$

po przejściu do przyrostów infinitezymalnych (tj. dla nieskończenie małego ${\displaystyle \Delta l}$) otrzymać można:

${\displaystyle \left\{{{\frac {du(l)}{dl}}=(R+j\omega L)\,i(l) \atop {\frac {di(l)}{dl}}=(G+j\omega C)\,u(l)}\right.,}$

co po podziałaniu na obydwie strony pierwszego z równań operatorem różniczkowania po długości i wstawieniu drugiego równania oraz podziałaniu na obydwie strony drugiego z równań operatorem różniczkowania po długości i wstawieniu pierwszego równania prowadzi w rezultacie do układu równań typu falowego opisujących zmiany napięć i prądów w linii transmisyjnej (tzw. równania telegrafistów). Jednoznaczne rozwiązania tego układu otrzymuje się przy ustalonym obciążeniu końca linii:

${\displaystyle Z_{K}={\frac {U_{K}}{I_{K}}},}$

gdzie:

${\displaystyle Z_{K}}$ – impedancja obciążająca,

zaś

${\displaystyle U_{K}}$ i ${\displaystyle I_{K}}$

są odpowiednio napięciem i prądem na końcu linii (tj. dla ${\displaystyle l=0}$).

Rozwiązanie ma postać:

${\displaystyle u(l)=U_{K}\,cosh\gamma l+I_{K}Z_{0}\,sinh\gamma l,}$

${\displaystyle i(l)=I_{K}\,cosh\gamma l+{\frac {U_{K}}{Z_{0}}}\,sinh\gamma l.}$

Z prawa Ohma wynika, że impedancja widziana w dowolnym punkcie linii (w miejscu odległym o ::${\displaystyle l}$ od końca linii) wyniesie:

${\displaystyle Z_{we}(l)={\frac {u(l)}{i(l)}}=Z_{0}{\frac {Z_{K}+Z_{0}\,tanh\gamma l}{Z_{0}+Z_{K}\,tanh\gamma l}}.}$

Dla linii bezstratnych zależność ta upraszcza się do postaci:

${\displaystyle Z_{we}(l)=Z_{0}{\frac {Z_{K}+jZ_{0}\,tan\beta l}{Z_{0}+jZ_{K}\,tan\beta l}}.}$

Z racji tego, że większość linii transmisyjnych można uznać z dobrym przybliżeniem za bezstratne, powyższa zależność ma kardynalne znaczenie przy obliczaniu parametrów wielu obwodów mikrofalowych działających w oparciu o teorię linii transmisyjnych. Jak widać impedancja linii zmienia się wraz z odległością od obciążenia stąd mówi się (w sensie impendancyjnym) o transformacyjnych własnościach linii. Trywialnym przypadkiem, jest obciążenie linii impedancją ${\displaystyle Z_{K}=Z_{0}}$ (przypadek idealnego dopasowania), dla którego w linii nic się nie zmienia i impedancja wejściowa na całej jej długości wynosi ${\displaystyle Z_{0}.}$ Można więc powiedzieć, że impedancja charakterystyczna linii to taka impedancja, że po obciążeniu nią linii prąd, napięcie, a co za tym idzie także impedancja wejściowa, utrzymują się wzdłuż linii na stałym poziomie. Stan dopasowania linii do obciążenia oznacza, że energia fali elektromagnetycznej propagującej się w linii w całości przedostaje się do obciążenia. W każdym innym przypadku mówi się o niedopasowaniu. Używa się dwóch miar dopasowania mających genezę w teorii odbicia fali elektromagnetycznej na granicy ośrodków:

• współczynnik odbicia – stosunek napięcia fali odbitej do napięcia fali padającej:

${\displaystyle \Gamma ={\frac {u_{fo}}{u_{fp}}}={\frac {Z_{K}-Z_{0}}{Z_{K}+Z_{0}}}\qquad \Gamma \in \,<-1;1>}$

• współczynnik fali stojącej

${\displaystyle WFS={\frac {u_{max}}{u_{min}}}={\frac {1+|\Gamma |}{1-|\Gamma |}}\qquad WFS\in \,<1;\infty )}$

W literaturze anglojęzycznej używa się oznaczenia SWR (standing wave ratio).

W zależności od stanu obciążenia linii długiej rozróżnia się następujące przypadki szczególne:

Rodzaj	Opis	Diagram
Obciążenie impedancją dopasowaną.	Na końcu linii nie dochodzi do odbicia (omówiony powyżej).
Zwarcie linii.	Pierwsze minimum napięcia przypada w odległości λ/2 od końca.
Rozwarcie linii	Pierwsze minimum napięcia przypada w odległości λ/4 od końca.
Obciążenie linii reaktancją pojemnościową	Pierwsze minimum napięcia lokuje się pomiędzy odległością λ/4 a końcem linii.
Obciążenie linii reaktancją indukcyjną	Pierwsze minimum napięcia lokuje się pomiędzy λ/2 a λ/4.
Obciążenie linii rezystancją	Dwa przypadki tj. dla rezystancji mniejszych i większych od ${\displaystyle Z_{0}.}$

(c) MPasternak z polskiej Wikipedii, CC-BY-SA-3.0

Oscylator zrealizowany w technice linii długich (tu niesymetrycznych linii paskowych)

Impedancję wejściową w dowolnym miejscu linii długiej można określić korzystając z wykresu Smitha.

Transformacyjne własności linii przesyłowych wykorzystuje się przede wszystkim w technice mikrofal do konstrukcji obwodów dopasowujących takich jak stroiki i transformatory ćwierćfalowe, a także rezonatorów, sprzęgaczy kierunkowych, dzielników mocy, przełączników itd. Przykład wykorzystania linii transmisyjnych do konstrukcji oscylatora mikrofalowego stabilizowanego rezonatorem z akustyczną falą powierzchniową przedstawia poniższa fotografia (→[1]).

Bibliografia

• Stanisław Bolkowski: Teoria obwodów elektrycznych. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2001, s. 466–508. ISBN 83-204-2638-3.
• Jarosław Szóstka: Fale i anteny. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2001, s. 73–109. ISBN 83-206-1414-7.