Logarytm
Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb liczba oznaczana będąca rozwiązaniem równania Liczba nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę aby otrzymać liczbę logarytmowaną [1].
Przykłady
- gdyż
- gdyż
Logarytmy zostały wynalezione w XVI w., były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Twórcami logarytmów byli matematyk szkocki J. Neper i matematyk angielski H. Briggs.
Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.
Logarytm przy ustalonej podstawie pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną następująco:
Definicja formalna
Logarytm jest działaniem zewnętrznym: zdefiniowanym równoważnością:[2]
(zamiast stosuje się symbolikę ).
Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.
- dla każdych istnieje liczba rzeczywista
Jest też odwrotnie:
- dla dowolnej liczby i dowolnej liczby istnieje dokładnie jedna liczba taka, że
- dla dowolnej liczby i dowolnej liczby istnieje dokładnie jedna liczba taka, że
Oznacza to, że przy ustalonym lub ustalonym działanie jest różnowartościową suriekcją na zbiór
Logarytm naturalny
Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą równą w przybliżeniu Zwyczajowo zamiast pisze się Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej dla której postaci
wtedy jej pochodna (również formalna) co oznacza, że zamiast ponieważ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.
Logarytm dziesiętny
Zapis bez indeksu albo oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10[2]:
Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.
Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym np.
Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:
Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie należy użyć logarytmu o podstawie
Własności
Znaki liczby w zależności od wartości
Wprost z definicji logarytmu wynika:
Z własności potęgi wynikają następujące równości:[2]
(1) |
(2) |
Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana wzorem na zmianę podstawy logarytmu:[2]
- albo
stąd przyjmując
- albo w szczególności
Z powyższych własności można wykazać m.in. równości
Dowody niektórych własności
Wzór (1): Niech Stąd, zgodnie z definicją, Mnożąc stronami obie równości Ponieważ więc Czyli Stąd teza.
Wzór (2): Niech Stąd, zgodnie z definicją, Podnosząc obie strony do potęgi Ponieważ więc Czyli Stąd teza.
Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.
Logarytm liczby zespolonej
Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:
(1) |
gdzie:
- jest dowolną liczbą całkowitą,
- jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
- to argument liczby zespolonej
- to argument główny.
W szczególności dla liczb zespolonych:
Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych Przyjmując otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: Inni[3] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.
Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:
gdzie:
- i są liczbami zespolonymi,
- i są dane wzorem (1).
Oczywiście zbiór wartości jest podwójnie indeksowany.
Kologarytm
Liczbę przeciwną do logarytmu z nazywało się niegdyś kologarytmem i oznaczało lub Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.
Logarytm dyskretny
Logarytm dyskretny elementu (przy podstawie ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):
Przykłady i zastosowania
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Logarytmy-dla-szkol-narodowych.jpg/250px-Logarytmy-dla-szkol-narodowych.jpg)
Matematyka
- Skala logarytmiczna na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. Diagram HR w astronomii.
- Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka.
- Regresja liniowa: jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami.
- Prawo iterowanego logarytmu w probabilistyce,
- Wymiar Hausdorffa fraktali w topologii i teorii miary,
- Asymptotyczne wzrost funkcji pi w teorii liczb,
- W teorii informacji Claude Shannon wyraził entropię informacji przez logarytmy odpowiednich prawdopodobieństw.
- Algorytmika: wiele procedur ma złożoność logarytmiczną (np. wyszukiwanie binarne) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów sortowania,
- Opis spirali logarytmicznej występującej w naturze,
Inne dziedziny
- Skala pH w chemii,
- skala Richtera w sejsmologii,
- Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku,
- Wysokość dźwięku jest logarytmiczną funkcją jego częstotliwości,
- Prawo Webera-Fechnera w psychologii i fizjologii percepcji,
- Prawo Fittsa w ergonomii,
- Jasność absolutna w astronomii,
- Logarytmiczny dekrement tłumienia w fizyce, np. w akustyce oraz w elektrotechnice,
- W fizyce statystycznej Ludwig Boltzmann wyraził entropię przez logarytm objętości w przestrzeni fazowej. Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii Clausiusa.
- Rozkład Benforda w statystyce i ekonomii,
- Wzór Ciołkowskiego opisujący ruch rakiety,
Zobacz też
- logarytm binarny
- logarytm całkowy
- logarytm dyskretny
- neper
- funkcja logarytmiczna
Uwagi
- ↑ Ten wzór pozwala zastosować logarytm do obliczania dowolnych potęg Jest to przydatne na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.
Przypisy
- ↑ Logarytm, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-28] .
- ↑ a b c d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑ Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN 978-83-204-3364-7.
Media użyte na tej stronie
Redirect arrow, to be used in redirected articles in Wikipedias written from left to right. Without text.
Book cover of Ignacy Zaborowski, Logarytmy dlá szkół narodowych, 1787.
John Napier - Mirifici logarithmorum canonis descriptio (ed 1618)
Autor: Jakob.scholbach, Licencja: CC BY-SA 3.0
based on File:Slide_rule_example2.svg (this is in turn based on File:Slide_rule_example2.jpg, which file has apparently been deleted. Related versions of the file include File:Slide_rule_example3.jpg), added labels