Logarytm

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb ${\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1}$ liczba oznaczana ${\displaystyle \log _{a}b}$ będąca rozwiązaniem równania ${\displaystyle a^{x}=b.}$ Liczba ${\displaystyle a}$ nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba ${\displaystyle b}$ liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę ${\displaystyle a,}$ aby otrzymać liczbę logarytmowaną ${\displaystyle b}$^[1].

Przykłady

${\displaystyle \log _{2}8=3,}$ gdyż ${\displaystyle 2^{3}=8,}$

${\displaystyle \log _{10}10000=4,}$ gdyż ${\displaystyle 10^{4}=10000.}$

Logarytmy zostały wynalezione w XVI w., były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Twórcami logarytmów byli matematyk szkocki J. Neper i matematyk angielski H. Briggs.

Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie ${\displaystyle a>0,a\neq 1}$ pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną ${\displaystyle f_{a}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ następująco:

${\displaystyle f_{a}\colon x\mapsto f_{a}(x)=\log _{a}x}$

Definicja formalna

schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$ na dodawanie ${\displaystyle \log 2+\log 3=\log 6}$

Logarytm jest działaniem zewnętrznym: ${\displaystyle \log \colon \;\mathbb {R} _{+}\!\!\setminus \!\!\{1\}\times \mathbb {R} _{+}\;\to \;\mathbb {R} }$ zdefiniowanym równoważnością:^[2]

${\displaystyle \log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b}$

(zamiast ${\displaystyle \log(a,b)}$ stosuje się symbolikę ${\displaystyle \log _{a}b}$).

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.

• dla każdych ${\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1}$ istnieje liczba rzeczywista ${\displaystyle c=\log _{a}b.}$

Jest też odwrotnie:

• dla dowolnej liczby ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ i dowolnej liczby ${\displaystyle a>0,\;a\neq 1}$ istnieje dokładnie jedna liczba ${\displaystyle b>0}$ taka, że ${\displaystyle c=\log _{a}b;}$
• dla dowolnej liczby ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ i dowolnej liczby ${\displaystyle b>0}$ istnieje dokładnie jedna liczba ${\displaystyle a>0,a\neq 1}$ taka, że ${\displaystyle c=\log _{a}b.}$

Oznacza to, że przy ustalonym ${\displaystyle a}$ lub ustalonym ${\displaystyle b}$ działanie ${\displaystyle \log }$ jest różnowartościową suriekcją na zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą ${\displaystyle e}$ równą w przybliżeniu ${\displaystyle 2{,}718281828.}$ Zwyczajowo zamiast ${\displaystyle \log _{e}x}$ pisze się ${\displaystyle \ln x.}$ Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej ${\displaystyle \exp ,}$ dla której ${\displaystyle \exp(1)=e,}$ postaci

${\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},}$

wtedy jej pochodna (również formalna) ${\displaystyle (\exp x)'=\exp x,}$ co oznacza, że ${\displaystyle (\ln x)'={\tfrac {1}{x}}}$ zamiast ${\displaystyle (\log _{a}x)'={\tfrac {1}{x\ln a}},}$ ponieważ ${\displaystyle \ln e=1.}$ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego ${\displaystyle e}$ jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny

Zapis bez indeksu ${\displaystyle \log x}$ albo ${\displaystyle \lg \;x}$ oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10^[2]:

${\displaystyle \log x=\lg x=\log _{10}x.}$

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności ${\displaystyle \log(x)}$ oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby ${\displaystyle x>1\land x\neg 1*10^{n},n\in \mathbb {N} }$ jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym ${\displaystyle x,}$ np.

${\displaystyle \log 5083495{,}424=6{,}7061624.}$

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

${\displaystyle \log 1=0,\,\log 10=1,\,\log 100=2,\dots }$

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie ${\displaystyle b,}$ należy użyć logarytmu o podstawie ${\displaystyle b.}$

Własności

Znaki liczby ${\displaystyle \log _{a}b}$ w zależności od wartości ${\displaystyle a,b{:}}$

Wprost z definicji logarytmu wynika:

${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b,\qquad \log _{a}a^{b}=b,\qquad \log _{a}1=0,\qquad \log _{a}a=1.}$

Z własności potęgi wynikają następujące równości:^[2]

${\displaystyle \log _{a}{\tfrac {b}{c}}=\log _{a}b-\log _{a}c}$

${\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{n}]{b^{c}}}={\tfrac {c}{n}}\log _{a}b}$

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana wzorem na zmianę podstawy logarytmu:^[2]

${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}\qquad {}}$ albo ${\displaystyle {}\qquad \log _{b}a\cdot \log _{a}x=\log _{b}x,}$

stąd przyjmując ${\displaystyle x=b}$

${\displaystyle \log _{a}b={\tfrac {1}{\log _{b}a}}\qquad {}}$ albo ${\displaystyle {}\qquad \log _{b}a\cdot \log _{a}b=1\qquad {}}$ w szczególności ${\displaystyle {}\qquad \log e\cdot \ln {10}=1.}$

Z powyższych własności można wykazać m.in. równości

${\displaystyle \log _{a^{n}}b^{m}={\tfrac {m}{n}}\log _{a}b,\qquad a^{log_{c}b}=b^{log_{c}a},\qquad x^{y}=a^{y\log _{a}x}}$^[a]

Dowody niektórych własności

Wzór (1): Niech ${\displaystyle \beta =\log _{a}b,\;\gamma =\log _{a}c.}$ Stąd, zgodnie z definicją, ${\displaystyle a^{\beta }=b,\;a^{\gamma }=c.}$ Mnożąc stronami obie równości ${\displaystyle a^{\beta }a^{\gamma }=bc.}$ Ponieważ ${\displaystyle a^{\beta }a^{\gamma }=a^{\beta +\gamma },}$ więc ${\displaystyle a^{\beta +\gamma }=bc.}$ Czyli ${\displaystyle \beta +\gamma =\log _{a}bc.}$ Stąd teza.

Wzór (2): Niech ${\displaystyle \beta =\log _{a}b.}$ Stąd, zgodnie z definicją, ${\displaystyle a^{\beta }=b.}$ Podnosząc obie strony do potęgi ${\displaystyle \left(a^{\beta }\right)^{c}=b^{c}.}$ Ponieważ ${\displaystyle \left(a^{\beta }\right)^{c}=a^{\beta c},}$ więc ${\displaystyle a^{\beta c}=b^{c}.}$ Czyli ${\displaystyle \beta c=\log _{a}b^{c}.}$ Stąd teza.

Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.

Logarytm liczby zespolonej

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech ${\displaystyle z}$ będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

gdzie:

• ${\displaystyle k}$ jest dowolną liczbą całkowitą,
• ${\displaystyle \ln |z|}$ jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby ${\displaystyle z}$ (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
• ${\displaystyle \arg }$ to argument liczby zespolonej ${\displaystyle z,}$
• ${\displaystyle \phi }$ to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:

${\displaystyle \ln 1=2k\pi i,}$

${\displaystyle \ln(-1)=(2k+1)\pi i,}$

${\displaystyle \ln i={\frac {4k+1}{2}}\pi i.}$

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych ${\displaystyle k.}$ Przyjmując ${\displaystyle k=0}$ otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: ${\displaystyle \operatorname {Ln} .}$ Inni^[3] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:

${\displaystyle \log _{w}z={\frac {\ln z}{\ln w}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle w}$ i ${\displaystyle z}$ są liczbami zespolonymi, ${\displaystyle z,w\neq 0,\;w\neq 1}$
• ${\displaystyle \ln z}$ i ${\displaystyle \ln w}$ są dane wzorem (1).

Oczywiście zbiór wartości ${\displaystyle \log _{w}z}$ jest podwójnie indeksowany.

Kologarytm

Liczbę przeciwną do logarytmu z ${\displaystyle x}$ nazywało się niegdyś kologarytmem ${\displaystyle x}$ i oznaczało ${\displaystyle \operatorname {clg} x}$ lub ${\displaystyle \operatorname {colog} x.}$ Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu ${\displaystyle -\log x.}$ Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny

Logarytm dyskretny elementu ${\displaystyle b}$ (przy podstawie ${\displaystyle a}$) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita ${\displaystyle c,}$ że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

${\displaystyle a^{c}=b.}$

Przykłady i zastosowania

Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.

Matematyka

• Skala logarytmiczna na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. Diagram HR w astronomii.
• Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka.
• Regresja liniowa: jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami.
• Prawo iterowanego logarytmu w probabilistyce,
• Wymiar Hausdorffa fraktali w topologii i teorii miary,
• Asymptotyczne wzrost funkcji pi w teorii liczb,
• W teorii informacji Claude Shannon wyraził entropię informacji przez logarytmy odpowiednich prawdopodobieństw.
• Algorytmika: wiele procedur ma złożoność logarytmiczną (np. wyszukiwanie binarne) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów sortowania,
• Opis spirali logarytmicznej występującej w naturze,

Inne dziedziny

• Skala pH w chemii,
• skala Richtera w sejsmologii,
• Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku,
• Wysokość dźwięku jest logarytmiczną funkcją jego częstotliwości,
• Prawo Webera-Fechnera w psychologii i fizjologii percepcji,
• Prawo Fittsa w ergonomii,
• Jasność absolutna w astronomii,
• Logarytmiczny dekrement tłumienia w fizyce, np. w akustyce oraz w elektrotechnice,
• W fizyce statystycznej Ludwig Boltzmann wyraził entropię przez logarytm objętości w przestrzeni fazowej. Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii Clausiusa.
• Rozkład Benforda w statystyce i ekonomii,
• Wzór Ciołkowskiego opisujący ruch rakiety,

Zobacz też

• logarytm binarny
• logarytm całkowy
• logarytm dyskretny
• neper
• funkcja logarytmiczna

Uwagi

Przypisy