Logarytmiczny dekrement tłumienia

Dwie kolejne amplitudy w drganiach tłumionych

Dekrement tłumienia – stosunek dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym

${\displaystyle \delta ={\frac {A_{n}}{A_{n+1}}}}$

gdzie:

${\displaystyle A_{n}}$ – amplituda ${\displaystyle n}$-tego drgania,

${\displaystyle A_{n+1}}$ – amplituda następnego drgania.

Logarytmiczny dekrement tłumienia to logarytm naturalny powyższego stosunku (ilorazu)^[1]:

${\displaystyle \Lambda =\ln \left({\frac {A_{n}}{A_{n+1}}}\right)}$.

Drgania harmoniczne

W przypadku harmonicznych drgań tłumionych wartość zarówno dekrementu, jak i logarytmicznego dekrementu jest stała w czasie, dlatego do wyznaczenia tych parametrów nie jest konieczna znajomość dwóch kolejnych amplitud. Wystarczy znać amplitudę ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$-tego drgania i amplitudę ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle m}$-tego drgania, wówczas

${\displaystyle \Lambda ={\frac {1}{m-n}}\ln \left({\frac {A_{n}}{A_{m}}}\right).}$

Tłumione drgania harmoniczne opisywane są równaniem kinematycznym

${\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta t}\sin(\omega t+\varphi ),}$

gdzie:

${\displaystyle \beta }$ – współczynnik tłumienia drgań,

${\displaystyle \omega }$ – częstość drgań tłumionych,

${\displaystyle \varphi }$ – faza początkowa.

Wykorzystując to równanie, można wykazać, że logarytmiczny dekrement tłumienia wyraża się wzorem

${\displaystyle \Lambda =\beta T,}$

gdzie ${\displaystyle T}$ jest okresem drgań tłumionych, lub wzorem

${\displaystyle \Lambda ={\frac {2\pi \beta }{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}},}$

gdzie ${\displaystyle \omega _{0}}$ jest częstością tych drgań przy braku tłumienia.

Przypisy

Bibliografia

• Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 52.