Macierz Hurwitza

Macierz Hurwitza – kwadratowa macierz rzeczywista, będąca strukturą składająca się ze współczynników rzeczywistego wielomianu. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Adolfa Hurwitza.

Definicja formalna

Dla danego rzeczywistego wielomianu:

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\dots +a_{n-1}z+a_{n}}$

macierz kwadratowa o wymiarach ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle H(p):={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&a_{7}&\dots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&a_{6}&\dots &0\\0&a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&\dots &0\\0&0&a_{1}&a_{3}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}}$

nazywa się macierzą Hurwitza odpowiadającą wielomianowi ${\displaystyle p.}$

Kryterium stabilności Hurwitza

W 1895 roku Adolf Hurwitz ustalił, że wielomian rzeczywisty jest stabilny (to znaczy wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartej lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące główne minory macierzy ${\displaystyle H(p)}$ są dodatnie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[.5em]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[.5em]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

i tak dalej.

Stabilne macierze Hurwitza

W inżynierii i w teorii stabilności, macierz kwadratowa ${\displaystyle A}$ nazywa się macierzą stabilną (lub czasem macierzą Hurwitza), jeśli każda wartość własna macierzy ${\displaystyle A}$ ma ściśle ujemne części rzeczywiste, to znaczy:

${\displaystyle \mathrm {Re} [\lambda _{i}]<0}$

dla każdej wartości własnej ${\displaystyle \lambda _{i}.}$

${\displaystyle A}$ nazywana jest też macierzą stabilności, gdyż wówczas równanie różniczkowe zwyczajne

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

jest stabilne asympotycznie, to znaczy ${\displaystyle x(t)\to 0,}$ gdy ${\displaystyle t\to \infty .}$

Jeśli ${\displaystyle G(s)}$ jest transmitancją operatorową (o wartościach macierzowych) to ${\displaystyle G}$ nazywa się transmitancją Hurwitza, jeśli bieguny wszystkich elementów ${\displaystyle G}$ mają ujemne części rzeczywiste. Należy przy tym pamiętać, że nie jest konieczne, aby ${\displaystyle G(s)}$ dla danego argumentu ${\displaystyle s}$ była transmitancją Hurwitza, nie musi nawet być kwadratowa. Występuje jednak związek, że jeśli ${\displaystyle A}$ jest macierzą Hurwitza, to układ dynamiczny ma transmitancję Hurwitza.

Dowolny hiperboliczny punkt stały (lub punkt równowagi) ciągłego układu dynamicznego jest lokalnie asympotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, jeśli Jacobian układu dynamicznego jest w punkcie stałym stabilny w sensie Hurwitza.

Zobacz też

• kryterium stabilności Hurwitza
• stabilność układu automatycznej regulacji
• twierdzenie Hurwitza