Macierz Jacobiego

Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste.

Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile pochodna ta istnieje.

Nazwy tych pojęć pochodzą od nazwiska niemieckiego matematyka C.G.J. Jacobiego, który je wprowadził, choć niezależnie badał je Michaił Ostrogradski. Jacobi używał nazwy wyznacznik różniczkowy; termin „jakobian” pochodzi od J.J. Sylvestera (1852)^[1].

Definicja macierzy Jacobiego

Założenia:

• ${\displaystyle U}$ – podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$
• ${\displaystyle \mathbf {f} =[f_{1},\dots ,f_{m}]}$ – funkcja wektorowa ze zbioru ${\displaystyle U}$ w przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$ mająca ${\displaystyle m}$ funkcji składowych ${\displaystyle f_{i}}$ ze zbioru ${\displaystyle U}$ na zbiór liczb rzeczywistych, ${\displaystyle f_{i}\colon U\to R,\,\,i=1,\dots ,m}$ o zmiennych ${\displaystyle \mathrm {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in U.}$

Jeżeli funkcja ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie ${\displaystyle \mathrm {x} \in U,}$ to

(1) macierzą Jacobiego ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }}$ nazywa się macierz, której elementami ${\displaystyle [\mathbf {J} _{\mathrm {f} }]_{ij},\,i=1,\dots ,m,\,\,j=1,\dots ,n}$ są funkcje ${\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j},}$ tj. pochodne funkcji po poszczególnych zmiennych mającą postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}},}$

tj.

Pierwszy wiersz tej macierzy stanowią pochodne pierwszej funkcji po poszczególnych zmiennych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ itd.

(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego, którego współrzędnymi są gradienty ${\displaystyle \nabla f_{i}}$ funkcji ${\displaystyle f_{i}}$ tworzących funkcję ${\displaystyle \mathrm {f} ,}$ tzn.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\nabla f_{1}\\\vdots \\\nabla f_{m}\end{bmatrix}}.}$

(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla ${\displaystyle \nabla ={\Big [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big ]}}$ i funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} }$ zapisanej w postaci kolumny, tj.

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }=\nabla \otimes f^{T},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {f} ^{T}=[f_{1},\dots ,f_{m}]^{T}}$ – kolumna zawierająca składowe funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} }$ (${\displaystyle T}$ oznacza transpozycję wektora).

Uwaga:

Wartością macierzy Jacobiego ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }}$ funkcji ${\displaystyle \mathbf {f} }$ w punkcie ${\displaystyle \mathrm {x} }$ nazywa się macierz ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {x} ),}$ której elementami są wartościami poszczególnych elementów macierzy Jacobiego, obliczone w punkcie ${\displaystyle \mathrm {x} ,}$ tj.

${\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathrm {x} )\right]_{i,j}.}$

Definicja jakobianu

Definicja:

Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.

Jakobian oznacza się symbolami^[2]: ${\displaystyle \det \mathbf {J} _{\mathrm {f} },}$ ${\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathrm {f} }|,}$ ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}{\overset {\mathrm {ozn} }{=}}{\frac {\partial \mathrm {f} }{\partial \mathrm {x} }}.}$

Przykłady

Przykład 1: Jakobian 2 × 2

Dla funkcji ${\displaystyle \mathbf {f} =[f_{1},f_{2}]\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},}$ takiej że

${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}+xy^{3},}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=xy+1}$

jakobian wynosi

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \mathbf {J} _{\mathrm {f} }&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial (x^{2}+xy^{3})}{\partial x}}&{\frac {\partial (x^{2}+xy^{3})}{\partial y}}\\{\frac {\partial (xy+1)}{\partial x}}&{\frac {\partial (xy+1)}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2x+y^{3}&3xy^{2}\\y&x\end{vmatrix}}\\&=2x^{2}+xy^{3}-3xy^{3}=2x^{2}-2xy^{3}\end{aligned}}.}$

Przykład 2: Jakobian nie istnieje

Dla funkcji ${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}}$ o 4 funkcjach składowych ${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1},\,5x_{3},\,4x_{2}^{2}-2x_{3},\,x_{3}\sin x_{1}),}$ tj.

${\displaystyle y_{1}=x_{1},}$

${\displaystyle y_{2}=5x_{3},}$

${\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3},}$

${\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}.}$

a) macierz Jacobiego ma postać

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}$

Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.

b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.

Przykład 3: Ujemny znak jakobianu

Dla funkcji o składowych

${\displaystyle y_{1}=5x_{2},}$

${\displaystyle y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3}),}$

${\displaystyle y_{3}=x_{2}x_{3}}$

jakobian ma wartość

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}$

Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja ${\displaystyle \mathbf {f} }$ zmienia orientację (jest tak w otoczeniu punktów, które mają ten sam znak); funkcja jest lokalnie odwracalna dla punktów ${\displaystyle R-\{0,0\}.}$

Różniczkowy element powierzchni

Twierdzenie o całce po powierzchni

Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych biegunowych na kartezjańskie

Transformacja ze współrzędnych biegunowych ${\displaystyle r,\phi }$ do kartezjańskich ${\displaystyle x,y}$ dana jest z pomocą funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} \colon R^{+}\times [0,2\pi )\to R^{2}}$ o 2 funkcjach składowych

${\displaystyle f_{1}\equiv x=r\cos \varphi ,}$

${\displaystyle f_{2}\equiv y=r\sin \varphi .}$

a) Macierz Jacobiego ma postać

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}.}$

b) Jakobian

${\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|=r.}$

c) Różniczkowy element powierzchni

Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.

${\displaystyle \iint _{\mathrm {f} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Różniczkowy element objętości

Twierdzenie o całce po objętości

Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych sferycznych na kartezjańskie

Przejście ze współrzędnych sferycznych ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ na kartezjańskie ${\displaystyle (x,y,z)}$ dane jest za pomocą funkcji ${\displaystyle \mathbf {f} \colon R^{+}\times [0,\pi )\times [0,2\pi )\to R^{3}}$ o 3 funkcjach składowych

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi ,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi ,}$

${\displaystyle z=r\cos \theta .}$

a) Macierz Jacobiego ma postać

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}$

b) Wyznacznik tej macierzy wynosi

${\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|=r^{2}\sin \theta .}$

Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych ${\displaystyle r,\theta .}$

c) Różniczkowy element objętości

W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać

${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz.}$

Przechodząc do układu współrzędnych sferycznych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez jakobian, tj.

${\displaystyle dV=|\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|dr\,d\varphi \,d\theta =r^{2}\sin \theta dr\,d\varphi \,d\theta .}$

Np. wykonując całkowanie funkcji ${\displaystyle f(x,y,z)}$ przy zamianie zmiennych na współrzędne sferyczne należy

• zmienne ${\displaystyle x,y,z}$ wyrazić przez zmienne ${\displaystyle r,\varphi ,\theta ,}$
• element objętości ${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz}$ wyrazić przez równy mu element ${\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta dr\,d\varphi \,d\theta .}$

Związek macierzy Jacobiego z pochodną Frécheta

(1) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja ${\displaystyle \mathrm {f} }$ jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie ${\displaystyle \mathrm {p} \in U,}$ to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta ${\displaystyle \operatorname {D} \mathrm {f} (\mathrm {p} ),}$ jest macierz Jacobiego ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {p} )}$ funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} }$ w punkcie ${\displaystyle \mathrm {p} .}$

(2) Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}.}$

(3) Funkcja ${\displaystyle \mathrm {f} }$ nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie ${\displaystyle \mathrm {p} ,}$ by macierz Jacobiego ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {p} )}$ była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} }$ w punkcie ${\displaystyle \mathrm {p} .}$ Oznacza to, że funkcja ${\displaystyle \mathrm {f} }$ jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego ${\displaystyle \mathbf {v} }$ istnieją pochodne ${\displaystyle {\tfrac {\partial \mathrm {f} }{\partial \mathbf {v} }}(\mathrm {p} ).}$

(4) Gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” funkcji:

• macierz Jacobiego jest pierwszą pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych,
• gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych (gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego).

(5) Macierz Jacobiego gradientu nazywana jest macierzą Hessego (hesjan) – jest to w pewnym sensie „druga pochodna” funkcji skalarnej wielu zmiennych.

Macierz Jacobiego jako macierz przekształcenia liniowego

Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy przekształceń liniowych. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego można wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Zobacz też

• macierz Hessego – macierz Jacobiego gradientu
• macierz Wrońskiego (fundamentalna)
• odwzorowanie styczne
• operator Laplace’a (laplasjan)

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 364–369.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, s. 181–183.