Macierz hermitowska

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa ${\displaystyle A=[a_{ij}]}$ równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek^[1]:

${\displaystyle [a_{ij}]=[{\overline {a_{ji}}}]}$.

Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).

Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.

Przykłady

Macierze hermitowskie 2 × 2

• macierze symetryczne rzeczywiste, tj. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}},\;a,b,c\in \mathbb {R} ,\;{}}$ np. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}}}$

• macierze zespolone, np. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-i\\i&1\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&-i\\i&1\end{bmatrix}}}$

• macierze Pauliego

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

• macierz zbudowana z macierzy Pauliego

${\displaystyle H(x,y,z)=x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}={\begin{bmatrix}z&x-iy\\x+iy&-z\end{bmatrix}}}$

Macierze hermitowskie 3 × 3

• macierze symetryczne rzeczywiste, tj.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},\;a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R} ,\;{}}$ np. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&4\\2&7&0\\4&0&-3\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}.}$

Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:

${\displaystyle A^{\dagger }=\left({\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}^{T}\right)^{*}={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}=A}$

Macierze hermitowskie 4 × 4

• macierz gamma Diraca ${\displaystyle \gamma ^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

• macierze alpha i beta Diraca

Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego

Macierze hermitowskie wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ mają na przekątnej liczby rzeczywiste ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in \mathbb {R} ,}$ a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.

Macierze hermitowskie wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ mają ogólną postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a&b&\cdots \\{\overline {a}}&p_{2}&c&\cdots \\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3},\dots \in \mathbb {R} ,a,b,c,\dots \in \mathbb {C} ,}$

gdzie ${\displaystyle {\overline {a}},{\overline {b}},{\overline {c}},\dots }$ – sprzężenia zespolone liczb ${\displaystyle a,b,c,\dots }$

Macierze te zależą w ogólności od ${\displaystyle n^{2}}$ parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową ${\displaystyle n^{2}}$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ zależą od ${\displaystyle n^{2}-1}$ parametrów (warunek ${\displaystyle Tr(A)=0}$ daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego ${\displaystyle su(n).}$ Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze hermitowskie 2 × 2

– mają ogólną postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a\\{\overline {a}}&p_{2}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ,}$

gdzie:

• ${\displaystyle a=x_{a}+iy_{a},}$
• ${\displaystyle {\overline {a}}=x_{a}-iy_{a}}$ – sprzężenie zespolone liczby ${\displaystyle a.}$

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów ${\displaystyle x_{a},y_{a},p_{1},p_{2}}$ i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń ${\displaystyle 2^{2}-1=3}$ – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.

Macierze hermitowskie 3 × 3

– mają ogólną postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a&b\\{\overline {a}}&p_{2}&c\\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {R} ,a,b,c\in \mathbb {C} .}$

Macierze te zależą w ogólności od ${\displaystyle 3^{2}=9}$ parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ${\displaystyle a,b,c}$) i tworzą przestrzeń wektorową ${\displaystyle 9}$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru ${\displaystyle 3\times 3}$ zależą od ${\displaystyle 3^{2}-1=8}$ parametrów i tworzą podprzestrzeń ${\displaystyle 8}$ -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.

Własności

• Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.
• Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne.

Dowód: Niech ${\displaystyle \lambda }$ będzie wartością własną macierzy ${\displaystyle A,}$ tj. ${\displaystyle Ax=\lambda x}$ dla pewnego niezerowego wektora ${\displaystyle x.}$ Wówczas

${\displaystyle \lambda \langle x,x\rangle =\langle \lambda x,x\rangle =\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle =\langle x,\lambda x\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,x\rangle ,}$

co dowodzi, że ${\displaystyle \lambda }$ jest liczbą rzeczywistą, ponieważ ${\displaystyle \lambda ={\overline {\lambda }}.}$

• Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne.

Dowód: Niech ${\displaystyle \lambda _{1}}$ i ${\displaystyle \lambda _{2}}$ będą różnymi wartościami własnymi macierzy ${\displaystyle A}$ dla pewnych wektorów, kolejno ${\displaystyle x_{1}}$ i ${\displaystyle x_{2},}$ tj. ${\displaystyle Ax_{1}=\lambda _{1}x_{1}}$ oraz ${\displaystyle Ax_{2}=\lambda _{2}x_{2}.}$ Wówczas:

${\displaystyle \lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\langle x_{1},\lambda _{2}x_{2}\rangle =\langle x_{1},Ax_{2}\rangle =\langle A^{\dagger }x_{1},x_{2}\rangle =\langle \lambda _{1}^{*}x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}^{*}\langle x_{1},x_{2}\rangle ,}$

ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc ${\displaystyle \lambda _{1}^{*}=\lambda _{1}.}$

Stąd:

${\displaystyle \lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}\langle x_{1},x_{2}\rangle \Rightarrow (\lambda _{2}-\lambda _{1})\langle x_{1},x_{2}\rangle =0,}$

ponieważ ${\displaystyle \lambda _{2}\neq \lambda _{1}}$ (macierz niezdegenerowana), ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2}\rangle =0,}$ a więc wektory ${\displaystyle x_{1}}$ i ${\displaystyle x_{2}}$ są ortogonalne.

• Macierz hermitowska ${\displaystyle n\times n}$ posiada ${\displaystyle n}$ liniowo niezależnych wektorów własnych.

Dowód: Niech ${\displaystyle A}$ będzie macierzą hermitowską, a ${\displaystyle \lambda }$ jej wartością własną. Pokażemy, że ${\displaystyle A}$ nie posiada wektorów głównych drugiego rzędu. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że ${\displaystyle v}$ jest wektorem głównym drugiego rzędu. Wtedy: ${\displaystyle (A-\lambda I)^{2}v=0}$, zatem ${\displaystyle \langle v,(A-\lambda I)^{2}v\rangle =0}$. Skoro ${\displaystyle A}$ jest hermitowska, a ${\displaystyle \lambda }$ - rzeczywista, z powyższego wynika, że ${\displaystyle \langle (A-\lambda I)v,(A-\lambda I)v\rangle =0}$ lub równoważnie ${\displaystyle \|(A-\lambda I)v\|^{2}=0}$. Ostatecznie ${\displaystyle (A-\lambda I)v=0}$, czyli ${\displaystyle v}$ jest wektorem własnym, co przeczy założeniu, że ${\displaystyle v}$ jest wektorem głównym drugiego rzędu. W bazie Jordana macierzy ${\displaystyle A}$ występują zatem wyłącznie jej wektory własne.

• Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy ${\displaystyle A}$ istnieją rzeczywista diagonalna macierz ${\displaystyle D}$ oraz unitarna macierz ${\displaystyle U}$, takie że ${\displaystyle A=UDU^{\dagger }}$.
• Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
• Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.

Formy hermitowskie

Formę ${\displaystyle g}$ na zespolonej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nazywa się hermitowską jeżeli

1. ${\displaystyle g(a_{1}\xi _{1}+a_{2}\xi _{2},\vartheta )=a_{1}g(\xi _{1},\vartheta )+a_{2}g(\xi _{2},\vartheta )\quad (a_{1},a_{2}\in \mathbb {C} ,\xi _{1},\xi _{2},\vartheta \in V)}$
2. ${\displaystyle g(\xi ,\vartheta )={\overline {g(\vartheta ,\xi )}}\quad (\xi ,\vartheta \in V).}$

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli ${\displaystyle A}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

${\displaystyle g(\xi ,\vartheta )=\xi A\vartheta ^{T}\quad (\xi ,\vartheta \in \mathbb {C} ^{n})}$

definiuje formę hermitowską w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ (symbol ${\displaystyle \vartheta ^{T}}$ oznacza postać kolumnową wektora poziomego ${\displaystyle \vartheta }$).

Zobacz też

• macierz antyhermitowska
• operator hermitowski
• sprzężenie hermitowskie macierzy
• macierz unitarna

Przypisy

Bibliografia

• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. I. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2.
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra liniowa. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 125–127.
• Tadeusz Trajdos, Matematyka c III. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.