Macierz kowariancji

Macierz kowariancji – uogólnienie pojęcia wariancji na przypadek wielowymiarowy. Macierz taka dla wektora losowego ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ ma postać:

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\cdots &\sigma _{1n}\\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\cdots &\sigma _{2n}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n1}&\sigma _{n2}&\cdots &\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}}}$

gdzie:

${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=D^{2}X_{i}}$ – wariancja zmiennej ${\displaystyle X_{i},}$

${\displaystyle \sigma _{ij}=\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}$ – kowariancja między zmiennymi losowymi ${\displaystyle X_{i}}$ i ${\displaystyle X_{j}.}$

Własności macierzy kowariancji

• Macierz ${\displaystyle \Sigma }$ jest macierzą symetryczną.
• ${\displaystyle \det \Sigma \geqslant 0}$ (wyznacznik macierzy kowariancji jest nieujemny).
• Jeżeli ${\displaystyle \det \Sigma =0,}$ to wektor jest zdegenerowany.