Macierz odwrotna

Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.

Definicja

Niech ${\displaystyle A}$ będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz ${\displaystyle A}$ jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz ${\displaystyle B,}$ że zachodzi

${\displaystyle AB=BA=I,}$

gdzie ${\displaystyle I}$ jest macierzą jednostkową. Macierz ${\displaystyle B}$ nazywa się wówczas macierzą odwrotną do macierzy ${\displaystyle A}$ i oznacza się przez ${\displaystyle A^{-1}.}$

Jeżeli taka macierz ${\displaystyle B}$ nie istnieje, to macierz ${\displaystyle A}$ nazywamy nieodwracalną.

Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą pierścień (łączny, nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc element odwracalny oraz odwrotny do danego w tym pierścieniu. Należy pamiętać, że jeżeli w pierścieniu łącznym element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie.

Pełna grupa liniowa

Dla danego pierścienia ${\displaystyle R}$ zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia ${\displaystyle n}$ jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Grupę tę nazywa się pełną (ogólną) grupą liniową stopnia ${\displaystyle n}$ nad ${\displaystyle R}$ i oznacza ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R).}$

Odwracalność a nieosobliwość

Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień ${\displaystyle R,}$ nad którym zbudowana jest macierz, jest przemienny. Macierzą nieosobliwą bądź niezdegenerowaną nazywa się każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli ${\displaystyle R}$ jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą albo zdegenerowaną nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) – są one dzielnikami zera w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Jeżeli pierścień ${\displaystyle R}$ nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią algebry centralne proste ${\displaystyle R}$ i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji ${\displaystyle R^{*},}$ czyli grupie ${\displaystyle R^{*}/[R^{*},R^{*}]}$).

Własności

• Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania macierzy jest inwolucją:

  ${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A.}$

• Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną,

  ${\displaystyle \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ (kolejność macierzy jest istotna, gdyż mnożenie macierzy nie jest przemienne!).

• Jeżeli macierz ${\displaystyle A}$ jest odwracalna, to także ${\displaystyle A^{T}}$ jest odwracalna,

  ${\displaystyle \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}.}$

Uwagi

• Macierz jednostkowa ${\displaystyle I}$ jest odwracalna oraz ${\displaystyle I^{-1}=I}$ (wynika wprost z definicji).
• Macierz zerowa ${\displaystyle \Theta }$ jest nieodwracalna, ogólnie – każda macierz osobliwa jest nieodwracalna.
• Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech ${\displaystyle A}$ będzie odwracalna, wówczas ${\displaystyle A+(-A)=\Theta .}$
• Dla nieosobliwej macierzy ${\displaystyle A}$ zachodzi równość ${\displaystyle \det A^{-1}={\tfrac {1}{\det A}}.}$

Przykłady

Macierz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}8&5\\13&8\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {Z} )}$

ma wyznacznik równy ${\displaystyle -1,}$ którego odwrotność w pierścieniu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ również wynosi ${\displaystyle -1.}$ Zatem macierz ${\displaystyle A}$ ma macierz odwrotną w ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {Z} ).}$

Rzeczywiście,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}8&5\\13&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8&5\\13&-8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&5\\13&-8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}8&5\\13&8\end{bmatrix}},}$

a więc

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}-8&5\\13&-8\end{bmatrix}}.}$

Macierz

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&1\\1&4\end{bmatrix}}\ \in M_{2}(\mathbb {Z} _{8})}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ jest pierścieniem reszt modulo 8

ma wyznacznik równy 3, który w pierścieniu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ jest odwracalny (jego odwrotność też wynosi ${\displaystyle 3}$).

Macierz ${\displaystyle B}$ jest więc odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest

${\displaystyle B^{-1}={\begin{bmatrix}4&5\\5&3\end{bmatrix}}.}$

Wyznaczanie

Metoda dopełnień algebraicznych

Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy ${\displaystyle A}$ obliczamy następująco:

${\displaystyle A^{-1}={\frac {A^{D}}{\det A}},}$

gdzie ${\displaystyle A^{D}}$ jest macierzą dołączoną do macierzy ${\displaystyle A}$ (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).

Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.

Niech ${\displaystyle X\in M_{i\times j}(K),}$ zaś ${\displaystyle Y\in M_{i\times k}(K).}$ Przez ${\displaystyle \left[X|Y\right]\in M_{i\times (j+k)}(K)}$ rozumieć będziemy macierz klatkową, której pierwsze ${\displaystyle j}$ kolumn jest kolumnami macierzy ${\displaystyle X,}$ a następne ${\displaystyle k}$ kolumn jest kolumnami macierzy ${\displaystyle Y}$ (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).

Aby znaleźć macierz odwrotną do ${\displaystyle A,}$ należy rozwiązać układ równań ${\displaystyle AB=I}$ względem macierzy ${\displaystyle B,}$ która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy ${\displaystyle \left[A|I\right]}$ domnożyć macierz ${\displaystyle B}$ (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz ${\displaystyle \left[AB|IB\right]}$ (lub ${\displaystyle \left[BA|BI\right]}$). Ponieważ ${\displaystyle B=A^{-1}}$ to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako ${\displaystyle \left[A|I\right]\mapsto \left[I|A^{-1}\right].}$

Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy ${\displaystyle B,}$ wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz ${\displaystyle \left[A|I\right]}$ w macierz ${\displaystyle \left[I|A^{-1}\right].}$ Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy ${\displaystyle A}$ w podmacierz jednostkową ${\displaystyle I}$ za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu operacji elementarnych na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa-Jordana.

Przypadki szczególne

• Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej powstaje poprzez odwrócenie współczynników głównej przekątnej:

  ${\displaystyle \operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{-1}=\operatorname {diag} ({\tfrac {1}{\lambda _{1}}},\dots ,{\tfrac {1}{\lambda _{n}}}).}$

• Macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej ${\displaystyle Q}$ jest równa jej transpozycji (przestawieniu):

  ${\displaystyle Q^{-1}=Q^{T}.}$

• Macierz odwrotna do macierzy wymiaru ${\displaystyle 2\times 2}$ może być szybko wyznaczona według wzoru

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.}$

Zobacz też

• macierz
• uogólniona macierz odwrotna