Macierz symetryczna

Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa ${\displaystyle \mathbf {A} =[a_{ij}]}$ stopnia ${\displaystyle n,}$ która dla ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$ spełnia warunek

${\displaystyle a_{ij}=a_{ji},}$

który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} .}$

Własności

• Kombinacja liniowa macierzy symetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy symetrycznej są macierzami symetrycznymi; iloczyn macierzy symetrycznych na ogół nie jest symetryczny.
• Dla dowolnej macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ macierz ${\displaystyle \mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }}$ jest symetryczna, bowiem ${\displaystyle \left(\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {(A^{T})^{T}} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }.}$
• Dla macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ macierz ${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$ jest symetryczna, bowiem ${\displaystyle \left(\mathbf {A+A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {(A^{T})^{\mathrm {T} }} =\mathbf {A+A} ^{\mathrm {T} }.}$
• Przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia ${\displaystyle n}$ rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia ${\displaystyle n,}$ to

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right),}$

przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.

• Wszystkie wartości własne symetrycznej macierzy rzeczywistej są rzeczywiste.

Przykłady

Poniższe macierze są symetryczne:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}7&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.}$

Zobacz też

• forma dwuliniowa
• macierz antysymetryczna
• macierz hermitowska

Bibliografia

• JerzyJ. Topp JerzyJ., Algebra liniowa, Gdańsk: Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, 2005, s. 73, ISBN 83-7348-135-4, OCLC 749843604 .