Macierz trójkątna

Ten artykuł od 2021-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Macierz trójkątna – macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero. Należy zauważyć, że kwadratowa macierz schodkowa jest zawsze macierzą trójkątną.

Dolna macierz trójkątna albo macierz dolnotrójkątna^[a] ma budowę następującą

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&0&0&0&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&0&0&0\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}}$

czyli jest to macierz dla której spełniony jest warunek: ${\displaystyle l_{i,j}=0}$ dla ${\displaystyle i<j.}$

Górna macierz trójkątna albo macierz górnotrójkątna^[a] to macierz postaci:

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\0&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &u_{n-1,n}\\0&0&0&0&u_{n,n}\end{bmatrix}},}$

czyli jest to macierz, dla której spełniony jest warunek: ${\displaystyle u_{i,j}=0}$ dla ${\displaystyle i>j.}$

Obliczenie wyznacznika oraz permanentu takiej macierzy sprowadza się do wymnożenia elementów leżących na głównej przekątnej:

${\displaystyle \det \left(A\right)=\operatorname {perm} \left(A\right)=\prod _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot \ldots \cdot a_{n,n}.}$

Zbiór macierzy górnotrójkątnych (odpowiednio: dolnotrójkątnych) jest podalgebrą macierzy kwadratowych, bowiem suma i iloczyn macierzy górnotrójkątnych (odpowiednio: dolnotrójkątnych) jest macierzą górnotrójkątną (odpowiednio: dolnotrójkątną).

Zobacz też

• metoda LU

Uwagi