![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Wolfgang_Pauli.jpg/220px-Wolfgang_Pauli.jpg)
Wolfgang Pauli (1900–1958)
Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej[1]:
W fizyce niekiedy używa się oznaczeń i
Czasem używa się również symbolu σ0 na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem tj.
Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta,
Właściwości algebraiczne
Niech oznacza macierz jednostkową.
(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:
gdzie
(2) Iloczyny macierzy Pauliego
a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:
- itd.
b) Ogólnie mamy:
gdzie
(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.
gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:
Ogólnie mamy:
gdzie:
- – symbol Leviego-Civity,
- – delta Kroneckera.
(4) Inna własność macierzy Pauliego:
Wartości i wektory własne
(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.
(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):
– dla macierzy
– dla macierzy
– dla macierzy
Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarny
(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:
gdzie – wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.
(2) Niech dany będzie wektor taki że
Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor ma postać:
(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.
Twierdzenia
oraz
gdzie:
- – wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.
Dowód (#1)
Dowód (#2)
Najpierw zauważmy równość
(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji).
Dla pozostałych:
Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:
Kiedy podstawimy
otrzymamy
Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,
Informatyka kwantowa
Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako kolejno dla
Zobacz też
Inne:
Przypisy
- ↑ Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, „Zeitschrift für Physik”, Bd. 43, 1927, s. 601.
Linki zewnętrzne