Metoda Kaczmarza

Metoda Kaczmarza (lub algorytm Kaczmarza) – iteracyjny algorytm przybliżonego rozwiązywania układów równań liniowych. Po raz pierwszy została odkryta przez polskiego matematyka Stefana Kaczmarza i opublikowana w 1937 roku. Ponownie została odkryta w kontekście rekonstrukcji obrazu przez Richarda Gordona, Roberta Bendera i Gabora Hermana w 1970 r.[1]

Niech będzie układem równań liniowych, liczbą wierszy zaś -tym wierszem macierzy oraz niech będzie dowolnym, początkowym przybliżeniem rozwiązania układu Dla niech:

gdzie

Jeżeli układ jest niesprzeczny, to tak otrzymany ciąg ma granicę, która jest rozwiązaniem wyjściowego układu.

Metoda Kaczmarza znalazła zastosowanie m.in. w tomografii komputerowej oraz cyfrowym przetwarzaniu sygnałów.

Przypisy

  1. Lech Maligranda: Stefan Kaczmarz (1895–1939) (pol.). „Antiquitates Mathematicae” 1 (2007), 2021. [dostęp 2021-03-16].

Bibliografia

  • S. Kaczmarz, Przybliżone rozwiązywanie układów równań liniowych – Angenäherte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen, Bull. Int. Acad. Polon. Sci., Cl. Sci. Math., Ser. A, Sci. Nat., s. 22–24, 1937.
  • R. Gabor, R. Bender, G.T. Herman, Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography, J. Theor. Biol. 29, s. 471–481, 1970.
  • Y. Censor, S.A. Zenios, Parallel optimization: theory, algorithms, and applications, New York: Oxford University Press, 1997.
  • R. Aster, B. Borchers, C. Thurber, Parameter Estimation and Inverse Problems, Elsevier, 2004.

Linki zewnętrzne