Metoda Schulzego

Metoda Schulzego obrazowo: 1. Pierwsze opuszczenie (strategia heurystyczna ustala zbiór Schwartza, po czym kolejno opuszcza najsłabszą przegraną, aż do skutku)
2. Kolejne opuszczenie
3. E wygrywa, ponieważ wygrało wszystkie zestawienia parami

Metoda Schulzego (ang.: Schulze method, Schwartz Sequential Dropping (SSD), Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD), Beatpath Method, Beatpath Winner, Path Voting, Path Winner) – metoda wyborcza, czyli oddawania i liczenia głosów, stworzona w 1997 przez Markusa Schulzego w celu wybierania jednego zwycięzcy w głosowaniu preferencyjnym.

Głosowanie odbywa się przez wpisanie liczby przy każdym kandydacie. Wyborca oddaje głos, oznaczając wybranych kandydatów numerami: zaznaczając '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji itd.

Metoda ta może zostać użyta także w celu wyłonienia listy zwycięzców.

Jeżeli w zestawieniach kandydatów parami, w wyniku tych zestawień jeden z nich jest preferowany, metoda Schulzego gwarantuje, że ten kandydat wygra wybory. Dzięki tej właściwości metoda Schulzego z racji definicji jest metodą Condorceta[1].

Jako pierwszy metody wyłaniania zwycięzcy wyborczego na zasadzie oddawania głosu jako uszeregowanych preferencji opracował już w XVIII wieku francuski matematyk Jean Condorcet. Rajmund Lullus, średniowieczny filozof z Majorki, zaproponował podobne metody[2] już w XIII wieku, przy czym swoje obliczenia wykonywał iteratywnie (parami, po kolei), budując przy tym maszyny logiczne. Z kolei ok. r. 1670 niemiecki matematyk Gottfried Leibniz zastosował metody Lullusa do liczenia, nadając im nazwę ars combinatorica, tworząc przy okazji rodzaj kodu binarnego. Z tego powodu Lull jest dziś uważany za ojca informatyki, a w jego metodach ustalono zapożyczenia z matematyki afrykańskiej[3][4].

Metoda Schulzego stała się najbardziej rozpowszechnioną metodą Condorceta. Obecnie jest ona używana przez szereg organizacji, w tym: Wikimedia, Debian, Gentoo i Software in the Public Interest.

Szereg rozmaitych strategii heurystycznych zostało zaproponowanych przez informatyków w celu sprawnego obliczenia wyniku wyborów zgodnie z metodą Schulzego. Najważniejsze z nich to tzw. ścieżkowa (ang. path heuristic) i zbioru Schwartza (ang. Schwartz set heuristic), opisane poniżej. Wszystkie strategie stosujące heurystykę obliczają tego samego zwycięzcę i różnią się od siebie tylko detalami algorytmu.

Strategia ścieżkowa (path heuristic)

Przykładowy formularz do głosowania metodą Schulzego: Wyborca głosuje preferencyjnie, oznaczając wybranych kandydatów numerami: '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji, itd. Nieoznaczeni kandydaci stają się domyślnie uszeregowani według jednakowej, niższej preferencji od kogokolwiek oznaczonego

W zastosowaniu metody Schulzego (jak i innych ordynacjach preferencyjnych wyłaniającego jednego wygrywającego (ang. single-winner election methods), każdy formularz do oddawania głosu zawiera kompletny spis wszystkich biorących udział w wyborach kandydatów. Wyborca ustawia ich według preferencji, oznaczając wybranych kandydatów numerami (zaznaczając '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji itd.).

Wyborca może przypisać tę samą preferencję wielu kandydatom, jak i nie oznaczyć kandydata. Jeżeli wyborca nie oznaczy kandydata, znaczy to, że ściśle preferuje oznaczonych nad nieoznaczonym i że nie preferuje nikogo wśród nieoznaczonych.

Rys matematyczny

Gdzie d[V,W] stanowi liczbę wyborców, którzy ściśle preferują kandydata V nad kandydata W:

Ścieżka prowadząca od kandydata X do kandydata Y o mocy p to ciąg kandydatów C(1),...,C(n) o następujących właściwościach:

  1. C(1) = X i C(n) = Y.
  2. Dla wszystkich i = 1,...,(n-1): d[C(i),C(i+1)] > d[C(i+1),C(i)].
  3. Dla wszystkich i = 1,...,(n-1): d[C(i),C(i+1)] ≥ p.
  4. Istnieje i, 1 ≤ i ≤ n-1 takie że: d[C(i),C(i+1)] = p.

p[A,B], moc najsilniejszej ścieżki od kandydata A do kandydata B, to wartość maksymalna wśród ścieżek od kandydata A do kandydata B. Jeżeli w ogóle nie istnieje ścieżka od kandydata A do kandydata B, wtedy p[A,B] : = 0.

Kandydat D jest lepszym od kandydata E, wtedy i tylko wtedy, gdy p[D,E] > p[E,D].

Kandydat D jest potencjalnie zwycięzcą (wygrywającym) wtedy i tylko wtedy, gdy p[D,E] ≥ p[E,D] dla każdego innego kandydata E.

Pseudokod

Zakładając C jako liczbę kandydatów biorących udział w wyborach, moce najsilniejszych ścieżek można obliczyć algorytmem Floyda-Warshalla. Poniższy pseudokod realizuje ten algorytm iteratywnie, od 1 do C. Jest to dokładne obliczenie, bez przybliżeń. Zdefiniowane ścieżki zaistniały jeszcze przed przeprowadzeniem tych obliczeń.

Wejście: d[i,j] stanowi liczbę wyborców, którzy ściśle preferują kandydata i nad kandydata j.
Wyjście: Kandydat i stanowi potencjalnego zwycięzcę wtedy i tylko wtedy, gdy „zwycięzca[i] = prawda”.
 1 od i : = 1 do C
 2    od j : = 1 do C
 3       jeżeli  i ≠ j wtedy
 4          jeżeli d[i,j] > d[j,i] wtedy
 5             p[i,j] := d[i,j]
 6          w przeciwnym wypadku
 7             p[i,j] := 0
 8
 9 od i : = 1 do C
10    od j : = 1 do C
11       jeżeli i ≠ j wtedy
12          od k : = 1 do C
13             jeżeli i ≠ k oraz j ≠ k wtedy
14                   p[j,k] : = max { p[j,k]; min { p[j,i]; p[i,k] } }
15
16 od i : = 1 do C
17    zwycięzca[i] := prawda
18    od j : = 1 do C
19       jeżeli i ≠ j oraz p[j,i] > p[i,j] wtedy
20             zwycięzca[i] := fałsz

Przykłady

Przykład 1

45 wyborców wybiera spośród 5 kandydatów:

5 ACBED (oznacza: pięciu wyborców wybrało preferencyjnie: A > C > B > E > D)
5 ADECB
8 BEDAC
3 CABED
7 CAEBD
2 CBADE
7 DCEBA
8 EBADC
d[*,A]d[*,B]d[*,C]d[*,D]d[*,E]
d[A,*]20263022
d[B,*]25163318
d[C,*]19291724
d[D,*]15122814
d[E,*]23272131
Macierz zestawiająca pary kandydatów i przez to, przegranych w indywidualnie zestawionych parach, wygląda następująco:
Schulze method example1.png

Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.

... do A... do B... do C... do D... do E
od A ...
Schulze method example1 AB.svg
A-(30)-D-(28)-C-(29)-B
Schulze method example1 AC.svg
A-(30)-D-(28)-C
Schulze method example1 AD.svg
A-(30)-D
Schulze method example1 AE.svg
A-(30)-D-(28)-C-(24)-E
od B ...
Schulze method example1 BA.svg
B-(25)-A
Schulze method example1 BC.svg
B-(33)-D-(28)-C
Schulze method example1 BD.svg
B-(33)-D
Schulze method example1 BE.svg
B-(33)-D-(28)-C-(24)-E
od C ...
Schulze method example1 CA.svg
C-(29)-B-(25)-A
Schulze method example1 CB.svg
C-(29)-B
Schulze method example1 CD.svg
C-(29)-B-(33)-D
Schulze method example1 CE.svg
C-(24)-E
od D ...
Schulze method example1 DA.svg
D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
Schulze method example1 DB.svg
D-(28)-C-(29)-B
Schulze method example1 DC.svg
D-(28)-C
Schulze method example1 DE.svg
D-(28)-C-(24)-E
od E ...
Schulze method example1 EA.svg
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A
Schulze method example1 EB.svg
E-(31)-D-(28)-C-(29)-B
Schulze method example1 EC.svg
E-(31)-D-(28)-C
Schulze method example1 ED.svg
E-(31)-D
strongest paths (najsilniejsze ścieżki):
p[*,A]p[*,B]p[*,C]p[*,D]p[*,E]
p[A,*]28283024
p[B,*]25283324
p[C,*]25292924
p[D,*]25282824
p[E,*]25282831
Moc najsilniejszych ścieżek:

Kandydat E jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[E,X] ≥ p[X,E] dla każdego innego kandydata X.

Przykład 2

30 wyborców wybiera spośród 4 kandydatów:

5 ACBD
2 ACDB
3 ADCB
4 BACD
3 CBDA
3 CDBA
1 DACB
5 DBAC
4 DCBA
d[*,A]d[*,B]d[*,C]d[*,D]
d[A,*]112014
d[B,*]19912
d[C,*]102117
d[D,*]161813
Macierz zestawiająca pary kandydatów i przez to, przegranych w indywidualnie zestawionych parach, wygląda następująco:
Schulze method example2.png

Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.

... do A... do B... do C... do D
od A ...
Schulze method example2 AB.svg
A-(20)-C-(21)-B
Schulze method example2 AC.svg
A-(20)-C
Schulze method example2 AD.svg
A-(20)-C-(17)-D
od B ...
Schulze method example2 BA.svg
B-(19)-A
Schulze method example2 BC.svg
B-(19)-A-(20)-C
Schulze method example2 BD.svg
B-(19)-A-(20)-C-(17)-D
od C ...
Schulze method example2 CA.svg
C-(21)-B-(19)-A
Schulze method example2 CB.svg
C-(21)-B
Schulze method example2 CD.svg
C-(17)-D
od D ...
Schulze method example2 DA.svg
D-(18)-B-(19)-A
Schulze method example2 DB.svg
D-(18)-B
Schulze method example2 DC.svg
D-(18)-B-(19)-A-(20)-C
Najsilniejsze ścieżki:
p[*,A]p[*,B]p[*,C]p[*,D]
p[A,*]202017
p[B,*]191917
p[C,*]192117
p[D,*]181818
Moc najsilniejszych ścieżek:

Kandydat D jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[D,X] ≥ p[X,D] dla każdego innego kandydata X.

Przykład 3

30 wyborców wybiera spośród 5 kandydatów:

3 ABDEC
5 ADEBC
1 ADECB
2 BADEC
2 BDECA
4 CABDE
6 CBADE
2 DBECA
5 DECAB
d[*,A]d[*,B]d[*,C]d[*,D]d[*,E]
d[A,*]18112121
d[B,*]12141719
d[C,*]19161010
d[D,*]9132030
d[E,*]911200
Macierz zestawiająca pary kandydatów i przez to, przegranych w indywidualnie zestawionych parach, wygląda następująco:
Schulze method example3.png

Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.

... do A... do B... do C... do D... do E
od A ...
Schulze method example3 AB.svg
A-(18)-B
Schulze method example3 AC.svg
A-(21)-D-(20)-C
Schulze method example3 AD.svg
A-(21)-D
Schulze method example3 AE.svg
A-(21)-E
od B ...
Schulze method example3 BA.svg
B-(19)-E-(20)-C-(19)-A
Schulze method example3 BC.svg
B-(19)-E-(20)-C
Schulze method example3 BD.svg
B-(19)-E-(20)-C-(19)-A-(21)-D
Schulze method example3 BE.svg
B-(19)-E
od C ...
Schulze method example3 CA.svg
C-(19)-A
Schulze method example3 CB.svg
C-(19)-A-(18)-B
Schulze method example3 CD.svg
C-(19)-A-(21)-D
Schulze method example3 CE.svg
C-(19)-A-(21)-E
od D ...
Schulze method example3 DA.svg
D-(20)-C-(19)-A
Schulze method example3 DB.svg
D-(20)-C-(19)-A-(18)-B
Schulze method example3 DC.svg
D-(20)-C
Schulze method example3 DE.svg
D-(30)-E
od E ...
Schulze method example3 EA.svg
E-(20)-C-(19)-A
Schulze method example3 EB.svg
E-(20)-C-(19)-A-(18)-B
Schulze method example3 EC.svg
E-(20)-C
Schulze method example3 ED.svg
E-(20)-C-(19)-A-(21)-D
Najsilniejsze ścieżki:
p[*,A]p[*,B]p[*,C]p[*,D]p[*,E]
p[A,*]18202121
p[B,*]19191919
p[C,*]19181919
p[D,*]19182030
p[E,*]19182019
Moc najsilniejszych ścieżek:

Kandydat B jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[B,X] ≥ p[X,B] dla każdego innego kandydata X.

Przykład 4

9 wyborców wybiera spośród 4 kandydatów:

3 ABCD
2 DABC
2 DBCA
2 CBDA
d[*,A]d[*,B]d[*,C]d[*,D]
d[A,*]553
d[B,*]475
d[C,*]425
d[D,*]644
Macierz zestawiająca pary kandydatów i przez to, przegranych w indywidualnie zestawionych parach, wygląda następująco:
Schulze method example4.png

Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.

... do A... do B... do C... do D
od A ...
Schulze method example4 AB.svg
A-(5)-B
Schulze method example4 AC.svg
A-(5)-C
Schulze method example4 AD.svg
A-(5)-B-(5)-D
od B ...
Schulze method example4 BA.svg
B-(5)-D-(6)-A
Schulze method example4 BC.svg
B-(7)-C
Schulze method example4 BD.svg
B-(5)-D
od C ...
Schulze method example4 CA.svg
C-(5)-D-(6)-A
Schulze method example4 CB.svg
C-(5)-D-(6)-A-(5)-B
Schulze method example4 CD.svg
C-(5)-D
od D ...
Schulze method example4 DA.svg
D-(6)-A
Schulze method example4 DB.svg
D-(6)-A-(5)-B
Schulze method example4 DC.svg
D-(6)-A-(5)-C
Najsilniejsze ścieżki:
p[*,A]p[*,B]p[*,C]p[*,D]
p[A,*]555
p[B,*]575
p[C,*]555
p[D,*]655
Moc najsilniejszych ścieżek:

Kandydat B i kandydat D są potencjalnymi wygrywającymi, ponieważ p[B,X] ≥ p[X,B] dla każdego innego kandydata X, jak i p[D,Y] ≥ p[Y,D] dla każdego innego kandydata Y.

Strategia zbioru Schwartza (Schwartz set heuristic)

Zbiór Schwartza

Definicja zbioru Schwartza, według zastosowania w metodzie Schulzego to:

  1. Zbiór niepokonanych jest zbiorem kandydatów, z których żaden nie przegrał z nikim poza zbiorem.
  2. Skrajnie wewnętrzny zbiór niepokonanych to zbiór niepokonanych, który nie zawiera w sobie podzbioru stanowiącego zbiór niepokonanych.
  3. Zbiór Schwartza jest zbiorem kandydatów, którzy należą do skrajnie wewnętrznych zbiorów niepokonanych.

Rys matematyczny

Wyborcy głosują przez wykonanie preferencyjnego rankingu kandydatów, jak w każdym innym głosowaniu metodą Condorceta.

Metoda Schulzego stosuje zestawianie kandydatów parami według Condorceta, w następstwie czego wybierany jest zwycięzca każdego takiego zestawienia.

Następnie, metoda Schulzego postępuje algorytmicznie w następujący sposób: w celu wybrania jednego zwycięzcy (lub w celu otrzymania rankingu):

  1. Oblicz zbiór Schwartza przez spisanie wszystkich (bez opuszczania) przegranych.
  2. Jeżeli nie zaistnieje przegrana pośród elementów tego zbioru, wtedy element ten wygrywa lub elementy te (w liczbie mnogiej, w wypadku remisu) wygrywają, i na tym kończy się obliczenie.
  3. W przeciwnym przypadku opuść (ang. drop) najsłabszą przegraną (lub przegrane, w przypadku remisowych przegranych: ex æquo) zaistniałą w zestawieniu pomiędzy dwoma elementami tego zbioru. Wykonaj ponownie polecenie nr 1.

Przykład z wyborem stolicy Tennessee

Sytuacja

W amerykańskim stanie Tennessee cztery największe miasta są rozrzucone względem siebie

Oto przykład fikcyjnego wyboru stolicy stanu Tennessee spośród kilku miast-kandydatów. Populacja tego stanu jest skoncentrowana głównie wokół jego czterech największych miast, które rozrzucone są na mapie stanu. W tym fikcyjnym przypadku wszyscy mieszkańcy stanu zamieszkują te miasta i pragną mieszkać jak najbliżej stolicy.

Kandydatami na stolicę są:

  • Memphis, największe miasto stanu, gdzie mieszka 42% wyborców, lecz ulokowane jest daleko od pozostałych miast.
  • Nashville, gdzie mieszka 26% wyborców.
  • Knoxville, gdzie mieszka 17% wyborców.
  • Chattanooga, gdzie mieszka 15% wyborców.

Preferencje tych wyborców ułożyłyby się mianowicie:

42% wyborców
(blisko Memphis)
26% wyborców
(blisko Nashville)
15% wyborców
(blisko Chattanooga)
17% wyborców
(blisko Knoxville)
  1. Memphis
  2. Nashville
  3. Chattanooga
  4. Knoxville
  1. Nashville
  2. Chattanooga
  3. Knoxville
  4. Memphis
  1. Chattanooga
  2. Knoxville
  3. Nashville
  4. Memphis
  1. Knoxville
  2. Chattanooga
  3. Nashville
  4. Memphis

Rezultat zastosowania metody Schulzego przedstawiony jako tablica:

Rezultaty wyborów przy zestawieniu parami
A
MemphisNashvilleChattanoogaKnoxville
BMemphis[A] 58%
[B] 42%
[A] 58%
[B] 42%
[A] 58%
[B] 42%
Nashville[A] 42%
[B] 58%
[A] 32%
[B] 68%
[A] 32%
[B] 68%
Chattanooga[A] 42%
[B] 58%
[A] 68%
[B] 32%
[A] 17%
[B] 83%
Knoxville[A] 42%
[B] 58%
[A] 68%
[B] 32%
[A] 83%
[B] 17%
Bilanse głosowania w zestawieniu kandydatów parami
(wygrane-przegrane-remisy):
0-3-03-0-02-1-01-2-0
Głosy przeciw w największych przegranych w parze:58%N/A68%83%
  • [A] przedstawia wyborców, którzy preferowali kandydata opisanego w kolumnie od kandydata opisanego rzędowo
  • [B] przedstawia wyborców, którzy preferowali kandydata opisanego rzędowo od kandydata opisanego w kolumnie

Wygrani z poszczególnych zestawień par

Na początek, spisane tu zostały wszystkie możliwe pary, ze wskazaniem kandydata wygrywającego w tychże parach:

ParaZwycięzca w parze
Memphis (42%) vs. Nashville (58%)Nashville 58%
Memphis (42%) vs. Chattanooga (58%)Chattanooga 58%
Memphis (42%) vs. Knoxville (58%)Knoxville 58%
Nashville (68%) vs. Chattanooga (32%)Nashville 68%
Nashville (68%) vs. Knoxville (32%)Nashville 68%
Chattanooga (83%) vs. Knoxville (17%)Chattanooga: 83%

Można tu użyć albo liczby oddanych głosów, albo procentowe zestawienia ułamka oddanych głosów; wybór tu jest bez znaczenia.

Opuszczanie (dropping)

Następnie, oto spis miast-kandydatów, z bilansem dla każdego z nich (wygrane-przegrane)

  • Nashville 3-0
  • Chattanooga 2-1
  • Knoxville 1-2
  • Memphis 0-3

Zbiorem Schwartza jest tu zbiór jednoelementowy zawierający Nashville, jako że Nashville bije wszystkie inne miasta wynikiem trzy do zera. Na tej podstawie, Nashville wygrywa wybory.

Przykład z niejednoznacznością

Dajmy na to, że zaistniała niejednoznaczność co do popularności kandydatów: A, B, C, i D.

  • A > B 68%
  • C > A 52%
  • A > D 62%
  • B > C 72%
  • B > D 84%
  • C > D 91%

W tej sytuacji, zbiór Schwartza zawiera A, B i C, ponieważ każdy z nich bije kandydaturę D.

  • A > B 68%
  • B > C 72%
  • C > A 52%

Zgodnie z metodą Schulzego, opuszczamy (ang. drop) najmniejszą zaistniałą różnicę, toteż pozbywamy się: C > A i zostaje nam:

  • A > B 68%
  • B > C 72%

Nowy zbiór Schwartza to zbiór zawierający tylko A, jako że żadne miasto spoza tego zbioru nie bije A. Po tym obliczeniu A, jako element zbioru jednoelementowego, wygrywa wybory.

Podsumowanie

W powyższym (pierwszym) przykładzie wyborów metodą Schulzego, zwyciężyło miasto-kandydat Nashville. Taki wynik jest zagwarantowany metodą Condorceta[1]. W przypadku zastosowania ordynacji proporcjonalnej lub innej metody, Memphis wygrałoby jako miasto mające największą populację, pomimo tego, że Nashville wygrywa każde zestawienie w symulowanych wyborach przeprowadzonych wśród par miast. Nashville wygrywa także przy zastosowaniu metody Bordy. Za to metoda natychmiastowej dogrywki[5] w tym przypadku wskazałaby na stolicę miasto-kandydata Knoxville, pomimo tego, że więcej wyborców preferowało Nashville nad Knoxville.

Kryteria spełnione i niespełnione

Kryteria spełnione

Metoda Schulzego spełnia następujące kryteria:

Jeżeli wygrywające głosy według kryterium Condorceta są użyte jako definiujące daną moc przegrania wyborów, metoda ta również spełnia następujące dodatkowe kryteria:

  • Kryterium Woodalla względnej większości[19][20]
  • Kryterium Woodalla CDTT[20][21]

Jeżeli różnice w wygranych w parach według Condorceta są użyte do zdefiniowania mocy przegrania wyborów, metoda ta również spełnia następujące dodatkowe kryterium:

  • Kryterium uzupełniania symetrycznego[22] (ang. Symmetric-completion)

Kryteria niespełnione

Metoda Schulzego nie spełnia następujących kryteriów:

Niezależność nieistotnych alternatyw

Metoda Schulzego nie spełnia kryterium niezależności nieistotnych alternatyw[28]. Natomiast, cechuje ją słabsza właściwość znana jako lokalna niezależność nieistotnych alternatyw[8].

Można tę właściwość wyrazić następująco: jeżeli jeden kandydat (X) wygrywa wybory, po czym nowa alternatywa (Y) jest dodana, X wygra rozszerzone wybory, o ile Y nie jest elementem zbioru Smitha. Lokalna niezależność nieistotnych alternatyw implikuje spełnienie kryterium Condorceta.

Porównanie z innymi metodami głosowań preferencyjnych w przypadku jednego wygrywającego

Porównanie metody Schulzego z innymi metodami ordynacji preferencyjnej, w przypadku zaistnienia tylko jednego zwycięzcy:

MonotonicznośćZwycięzca według kryterium CondorcetaPrzegrany według kryterium CondorcetaKryterium większości[29]Kryterium wzajemnych większości[30]ang. Independence of clones criterionang. Reversal symmetryAlgorytm wielomianowyKryterium partycypacji[23], Kryterium spójności[25]
SchulzeTakTakTakTakTakTakTakTakNie
ang. Ranked PairsTakTakTakTakTakTakTakTakNie
ang. Kemeny-Young methodTakTakTakTakTakNieTakNieNie
ang. Minimax CondorcetTakTakNieTakNieNieNieTakNie
ang. Nanson's methodNieTakTakTakTakNieTakTakNie
ang. Nanson's method, podtyp: Baldwin methodNieTakTakTakTakNieNieTakNie
Metoda natychmiastowej dogrywki[5]NieNieTakTakTakTakNieTakNie
ang. Coombs' methodNieNieTakTakTakNieNieTakNie
ang. Contingent voteNieNieTakTakNieNieNieTakNie
ang. Contingent vote, podtyp: Sri Lankan contingent voteNieNieNieTakNieNieNieTakNie
ang. Contingent vote, podtyp: Supplementary VoteNieNieNieTakNieNieNieTakNie
metoda BordyTakNieTakNieNieNieTakTakTak
metoda Bucklina[31]TakNieNieTakTakNieNieTakNie
Ordynacja większościowaTakNieNieTakNieNieNieTakTak
ang. Anti-plurality votingTakNieNieNieNieNieNieTakTak

Różnice zaistniałe pomiędzy metodą Schulzego i metodą znana po angielsku jako Ranked Pairs opisano w sekcji nr 9 artykułu autorstwa Markusa Schulzego „A New Monotonic, Clone-Independent, Reversal Symmetric, and Condorcet-Consistent Single-Winner Election Method (Part 1 of 5)”[32].

Historia metody Schulzego

Markus Schulze opracował tę metodę w 1997. Po raz pierwszy została naświetlona w forum publicznym (na liście mailingowej) w 1998[33] i w 2000[34]. W następnych latach metoda Schulzego została zaadaptowana w celach wyborczych przez m.in. Software in the Public Interest (2003)[35], Debian (2003)[36], UserLinux (2003), Gentoo (2005), TopCoder (2005) i Sender Policy Framework (2005). Pierwsze monografie na temat metody Schulzego napisali: Nicolaus Tideman (2006) i Stahl z Johnsonem (2007).

Zastosowanie metody Schulzego

Formularz do oddawania głosu zastosowany w wyborach do rady Wikimedia's Board of Trustees

Metoda Schulzego nie jest jeszcze stosowana w wyborach rządowych. Natomiast obecnie zaczyna cieszyć się uznaniem i poparciem szeregu organizacji publicznych i społecznych. Wśród organizacji użytkujących Metodę Schulzego są następujące:

Wikimedia Foundation

Największymi wyborami przeprowadzonymi dotychczas (wrzesień 2008) metodą Schulzego były wybory do rady Wikimedia's Board of Trustees w czerwcu 2008[70]: o jeden mandat ubiegało się 15 kandydatów, wybieranych potencjalnie przez 26 000 uprawnionych wyborców; w praktyce zgłoszono 3019 formularzy (czyli oddano tyle głosów, licząc każdego wyborcę jako jeden głos).

Jako że Chen wygrał pod względem kryterium Condorceta, on został wybrany do rady. Ponadto zaistniał remis w wyborach o miejsca od 6. do 9. pomiędzy Heiskanen, Postlethwaite, Smith i Saintonge. Heiskanen wygrał w zestawieniu w parze z Postlethwaite; Postlethwaite z Smith; Smith z Saintonge; Saintonge z Heiskanen.

TCABSKHCAHJHRPSSRSDRCSMBKWPWGK
Ting Chen10861044110811351151124511901182124812631306134413541421
Alex Bakharev84493298495098310521028990105410731109113411731236
Samuel Klein83691091192498398097194196710191069109911261183
Harel Cain73183679989689296490491795910071047107510801160
Ad Huikeshoven674781764806832901868848920934987102210301115
Jussi-Ville Heiskanen6217207127557148417987378278509129709431057
Ryan Postlethwaite6747027267567727707557977418048378809211027
Steve Smith6506946547127297507447787347968408768841007
Ray Saintonge629703641727714745769738789812848879899987
Dan Rosenthal595654609660691724707699711721780844858960
Craig Spurrier473537498530571583587577578600646721695845
Matthew Bisanz472498465509508534473507531513552653677785
Kurt M. Weber505535528547588581553573588566595634679787
Paul Williams380420410435439464426466470471429521566754
Gregory Kohs411412434471461471468461467472491523513541
wybory metodą Schulzego do rady: Wikimedia's Board of Trustees, 2008:

Każda liczba przedstawia wyborców, którzy przypisali preferencję kandydatowi po lewej, wyższą od tej przypisanej przez nich kandydatowi wskazanego u góry tabeli. Liczba na zielono reprezentuje wygraną w parze przez kandydata wskazanego w tablicy w kolumnie po lewej. Liczba na czerwono reprezentuje przegraną przez kandydata wskazanego w kolumnie po lewej.

Przypisy

  1. a b Jean Condorcet (17 wrze 1743 – 28 mar 1794): ang. Condorcet method
  2. Christopher M. Kelty, Ramon Llull (1232-1316): Logic. Memory. Wacko., [w:] Anthropology 375/575: Abracadabra: Language and Memory in Science and Technology [online], Houston: Rice University, 17 marca 2003 [dostęp 2008-09-25] (ang.).???
  3. Dr. Scott W. Williams, Professor of Mathematics: Mathematics of the African Diaspora (ang.). Department of Mathematics, The State University of New York at Buffalo, 1997-05-25. [dostęp 2009-07-02]. Cytat: "Most histories of mathematics devote only a few pages to Ancient Egypt and to northern Africa during the 'Middle Ages´. Generally they ignore the history of mathematics in Africa south of the Sahara and give the impression that this history either did not exist or, at least, is not knowable, traceable, or, stronger still, that there was no mathematics at all south of the Sahara. In history, to Europeans, even the Africanity of Egyptian mathematics is often denied or suffers eurocentric views of conceptions of both 'history' and of 'mathematics' form the basis of such views. Contrary to the popular view, one can neither racially or geographically separate Egyptian civilization from its black African roots."
  4. Chapter 7 Numeric systems. W: Ron Eglash: African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design. Rutgers University Press, 1999, s. 100-101. ​ISBN 0-8135-2614-0​, ​ISBN 978-0-8135-2614-0​. Cytat: "The strong similarity of both symbolic technique and semantic categories to what Europeans termed „geomancy” was first noted by Flacourt (1661), but it was not until Trautmann (1939) that a serious claim was made for a common source for this Arabic, European, West African, and East African divination technique.The commonality was confirmed in a detailed formal analysis by Jaulin (1966). But where did it originate?

    Skinner (1980) provides a well-documented history of the diffusion evidence, from the first specific written record, a ninth century Jewish commentary by Aran ben Joseph, to its modern use in Aleister Crowley's Liber 777. The oldest Arabic documents (those of az-Zanti in the thirteenth century) claim the origin of geomancy (ilm al-raml, „the science of sand”) through the Egyptian god Idris (Hermes Trismegistus), and while we need not take that as anything more than a claim to antiquity, a Nilotic influence is not unreasonable. Budge (1961) attempts to connect the use of sand in ancient Egyptian rituals to African geomancy, but it is hard to see this as unique. Mathematically, however, geomancy is strikingly out of place in non-African systems.

    Like other linguistic codes, number bases tend to have an extremely long historical persistence. Even under Platonic rationalism, the ancient Greeks held 10 to be the most sacred of all numbers; the Kabbalah's Ayin Sof emanates by 10 Sefirot; and the Christian west counts on its „Hindu-Arabic” decimal notation.In Africa, on the other hand, base two calculation was ubiquitous, even for multiplication and division. And it is here that we find the cultural connotations of doubling that ground the divination practice in its religious significance.

    The implications of this trajectory -- from sub-Saharan Africa, to North Africa, to Europe -- are quite significant for the history of mathematics. Following the introduction of geomancy to Europe by Hugo of Santalla in twelfth century Spain, it was taken up with great interest by the pre-science mystics of those times -- alchemists, hermeticists, and Rosicrucians (figure 7.9). But these European geomancers -- Raymond Lull, Robert Fludd, de Peruchio, Henry de Pisis and others -- persistently replaced the deterministic aspects of the system with chance. By mounting the sixteen figures on a wheel and spinning it, they maintained their society's exclusion of any connections between determinism and unpredictability. The Africans, on the other hand, seem to have emphasized such connections. In chapter 10 we will explore one source of this difference: the African concept of a “trickster” god, one who is both deterministic and unpredictable.

    On a video recording I made of the Bamana divination, I noticed that the practitioners had used a shortcut method in some demonstrations (this may have been a parting gift, as the video was shot on my last day). As first taught to me, when they count off the pairs of random dashes, they link them by drawing short curves.The shortcut method then links those curves with larger curves, and those below with even larger curves.This upside-down Cantor set shows that they are not simply applying mod 2 again and again in a mindless fashion.The self-similar physical structure of the shortcut method vividly illustrates a recursive process, and as a non-traditional invention (there is no record of its use elsewhere) it shows active mathematical practice. Other African divination practices can be linked to recursion as well; for example Devisch (1991) describes the Yaka diviners' „self-generative” initiation and uterine symbolism.

    Before leaving divination, there is one more important connection to mathematical history. While Raymond Lull, like other European alchemists, created wheels with sixteen divination figures, his primary interest was in the combinatorial possibilities offered by base-2 divisions. Lull's work was closely examined by German mathematician Gottfried Leibniz, whose Dissertatio de arte combinatoria, published in 1666 when he was twenty, acknowledges Lull's work as a precursor. Further exploration led Leibniz to introduce a base-2 counting system, creating what we now call the binary code. While there were many other African influences in the lives of Lull and Leibniz, it is not far-fetched to see a historical path for base-2 calculation that begins with African divination, runs through the geomancy of European alchemists, and is finally translated into binary calculation, where it is now applied in every digital circuit from alarm clocks to supercomputers.

    In a 1995 interview in Wired magazine, techno-pop musician Brian Eno claimed that the problem with computers is that „they don't have enough African in them” Eno was, no doubt, trying to be complimentary, saying that there is some intuitive quality that is a valuable attribute of African culture. But in doing so he obscured the cultural origins of digital computing and did an injustice to the very concept he was trying to convey.”. (ang.)
  5. a b ang. instant-runoff voting
  6. Schulze1, sekcja 4.2
  7. Schulze1, sekcja 4.4
  8. a b ang. local independence of irrelevant alternatives
  9. ang. mutual majority criterion
  10. ang. ndependence of clones criterion
  11. Schulze1, section 4.5
  12. ang. reversal symmetry
  13. Schulze1, sekcja 4.3
  14. Mono-append (ang.)
  15. Mono-add-plump (ang.)
  16. ang. resolvability criterion
  17. Schulze1, sekcja 4.1
  18. Schulze1, sekcja 2.4
  19. ang. plurality criterion, podtyp Woodall's plurality criterion
  20. a b Schulze1, sekcja 6
  21. Kryterium Woodalla CDTT (ang.)
  22. Uzupełnianie symetryczne (ang.)
  23. a b ang. participation criterion
  24. Schulze1, section 3.7
  25. a b ang. consistency criterion
  26. ang. compromising i burying
  27. ang. later-no-harm criterion
  28. ang.'independence of irrelevant alternatives
  29. ang. majority criterion
  30. ang, mutual majority criterion
  31. ang. Bucklin voting
  32. A New Monotonic, Clone-Independent, Reversal Symmetric, and Condorcet-Consistent Single-Winner Election Method (Part 1 of 5) (ang.). 2008-08-04. [dostęp 2008-09-28].
  33. Patrz:
  34. Patrz:
  35. a b Process for adding new board members, I 2003
  36. a b Constitutional Amendment: Condorcet/Clone Proof SSD Voting Method, VI 2003
  37. May-June 2008 Voter-Funded Media Contest at University of British Columbia
  38. Langara Students Union 2008 Voter-Funded Media Contest (ang.). [zarchiwizowane z tego adresu].
  39. Election of the Annodex Association committee for 2007, II 2007
  40. Blitzed (ang.).
  41. Condorcet method for admin voting (ang.). I 2005.
  42. Patrz:
  43. Codex Alpe Adria (ang.).
  44. Codex Alpe Adria Competitions (ang.).
  45. County Highpointers (ang.).
  46. Adam Helman, Family Affair Voting Scheme - Schulze Method
  47. Patrz:
  48. EnMasse Forums. Kanada.
  49. Patrz:
  50. Fair Trade Northwest. (patrz: artykuł XI sekcja 2 ichniejszych bylaws)
  51. FSFLA Voting Instructions (hiszp.); FSFLA Voting Instructions (port.)
  52. Patrz:
  53. GnuPG Logo Vote, XI 2006
  54. Patrz:
  55. Patrz:
  56. Mathematical Knowledge Management Interest Group (MKM-IG)]. (MKM-IG stosuje metodę Condorceta z podwójnym opuszczaniem. To oznacza: stosowanie rankingu Schulzego i rankingu znanego po angielsku jako Ranked Pairs, gdzie obliczenia wskazują na najpopularniejszego kandydata spośród wskazancyh przez te dwa rankingi według uszeregowania względem kryterium Kemeny score.)
    Patrz:
  57. Generalversammlung 2007/Wahlmodus (niem.), III 2007
  58. Benjamin Mako Hill, Voting Machinery for the Masses, VII 2008
  59. North Shore Cyclists (NSC) (ang.).
  60. Wybory organizacji North Shore Cyclists, Głosowanie na wybór designu koszulki drużynowej NSC, September 2007
  61. OpenCouchSurfing (ang.).
  62. Thomas Goorden, CS community city ambassador elections on 19 II 2008 in Antwerp and ..., XI 2007
  63. Pittsburgh Ultimate (ang.).
  64. 2006 Community for Pittsburgh Ultimate Board Election, IX 2006
  65. RPMrepo (ang.).
  66. LogoVoting (ang.). XII 2007.
  67. Patrz:
  68. Bylaws of the Students for Free Culture, article V, section 1.1.1
  69. Patrz:
  70. a b Patrz:

Schulze1: Markus Schulze: "A New Monotonic, Clone-Independent, Reversal Symmetric, and Condorcet-Consistent Single-Winner Election Method" [dostęp=2008-09-21] (ang.)

Linki zewnętrzne

Uwaga: Metodę Schulzego w źródłach poniżej oddają takie skrótowce jak CSSD, SSD, czy terminy beatpath, path winner, itp.

Głównie odniesienia

Instrukcje (tutorials)

Argumenty za i przeciw

Artykuły w czasopismach naukowych

Monografie i inne książki

  • Saul Stahl and Paul E. Johnson: Understanding Modern MathematicsISBN 0-7637-3401-2(ang.)
  • Nicolaus Tideman: Collective Decisions and Voting: The Potential for Public Choice [4], ​ISBN 0-7546-4717-X(ang.)

Oprogramowanie

Przedsięwzięcia parlamentarne i wyborcze

Media użyte na tej stronie

Schulze method example3 BE.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 CE.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 CD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 DA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 BC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Voting2.png
Autor: Ral315 and authors of software., Licencja: GPL
Voting software in 2008 Wikimedia Board of Trustee elections.
Schulze method example3 DB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 DA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 AE.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 CA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 EC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 BC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 AB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 ED.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 AC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 CD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 AD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze2.png
Autor: Autor nie został podany w rozpoznawalny automatycznie sposób. Założono, że to HB (w oparciu o szablon praw autorskich)., Licencja: CC-BY-SA-3.0
Schulze methode - Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD), step two
Schulze method example2 DB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 BA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 BD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 CA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 AC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 DC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1.png
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Пример метода Шульце
Schulze method example1 AE.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 AB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 AC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 DA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 EA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 CB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 AC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 CB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 AB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 ED.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 EB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 DC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 DE.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 DC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 CB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 DB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 DA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 AD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 BA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 CE.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 BA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 AD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 4.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 BE.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze3.png
Autor: Autor nie został podany w rozpoznawalny automatycznie sposób. Założono, że to HB (w oparciu o szablon praw autorskich)., Licencja: CC-BY-SA-3.0
Schulze methode - Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD), step three
Schulze method example4 BA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4.png
Autor: MarkusSchulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Schulze method example4
Schulze method example4 CA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 BC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 AD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 EB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 CA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 CB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 EA.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 CD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 BD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 BD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example4 BD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 EC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 DC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 DE.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example3 AB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example1 CD.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Schulze method example2 BC.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.
Tennessee map for voting example.svg
Autor:

Oryginalnym przesyłającym był Rspeer z angielskiej Wikipedii

Later versions were uploaded by Abeg92 at en.wikipedia., Licencja: CC BY-SA 2.0
Created by en:User:Rspeer using Inkscape. Based on a state outline from the Libre Map Project, released as CC-by-SA 2.0.
Schulze1.png
Autor: Autor nie został podany w rozpoznawalny automatycznie sposób. Założono, że to HB (w oparciu o szablon praw autorskich)., Licencja: CC-BY-SA-3.0
Schulze methode - Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD), step one
Schulze method example1 DB.svg
Autor: Markus Schulze, Licencja: CC BY-SA 3.0
Another graphic to illustrate the Schulze method.