Metoda współczynników nieoznaczonych

Metoda współczynników nieoznaczonych – zbiorcza nazwa heurystycznych metod całkowania nieoznaczonego, polegających na przewidywaniu ogólnej postaci funkcji pierwotnej (to znaczy postaci zawierającej ewentualnie pewne parametry liczbowe, czyli tzw. współczynniki nieoznaczone), a następnie dokładnego wyliczenia tych parametrów.

Przykłady

Całki funkcji wymiernych

Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę pewnego wielomianu

${\displaystyle W(x)=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

i skończonej liczby ułamków prostych, to znaczy ułamków postaci:

${\displaystyle {\frac {A_{i}}{(x-c_{i})^{k}}}}$    oraz    ${\displaystyle {\frac {B_{i}x+C_{i}}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{k}}},}$

gdzie ${\displaystyle a_{n},\dots ,a_{0},c_{i},A_{i},B_{i},C_{i},p_{i},q_{i}}$ są szukanymi liczbami rzeczywistymi, dla pewnej liczby naturalnej ${\displaystyle m}$ oraz ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant m.}$ Liczby te można wyznaczyć rozwiązując odpowiedni układ równań. Znając te liczby można sprowadzić całkowanie danej funkcji wymiernej do sumy takich całek, dla których metody całkowania są znane.

Wydzielenie części wymiernej całki

Przypuśćmy, że dla funkcji wymiernej ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ jej mianownik ${\displaystyle Q}$ zawiera pierwiastki wielokrotne (mogą być zespolone) oraz stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika.

Znajdujemy wielomian ${\displaystyle Q_{1}}$ stosując algorytm Euklidesa:

${\displaystyle Q_{1}(x)={\mbox{NWD}}(Q(x),Q'(x))}$

oraz wielomian ${\displaystyle Q_{2}}$ z zależności:

${\displaystyle Q(x)=Q_{1}(x)Q_{2}(x).}$

Zaletą tej metody jest to, że nie musimy znać rozkładu na czynniki wielomianów ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle Q'.}$

Wówczas zachodzi równość

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx,}$

dla pewnych wielomianów ${\displaystyle P_{1},}$ ${\displaystyle P_{2}}$ spełniających

${\displaystyle \deg P_{1}(x)<\deg Q_{1}(x),\quad \deg P_{2}(x)<\deg Q_{2}(x).}$

Przewidujemy współczynniki liczbowe wielomianów ${\displaystyle P_{1},}$ ${\displaystyle P_{2}}$ i znajdujemy je, rozwiązując poniższe równanie:

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\left({\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}\right)'+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}.}$

Gdy rozpiszemy powyższą równość to otrzymamy:

${\displaystyle P(x)=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x)H(x)+P_{2}(x)Q_{1}(x)}$

gdzie ${\displaystyle H(x)={\frac {Q_{2}(x)Q_{1}'(x)}{Q_{1}(x)}}}$
Można pokazać że :${\displaystyle H(x)}$ zawsze będzie wielomianem

Całki funkcji będących ilorazem wielomianu oraz pierwiastka z trójmianu kwadratowego

Całkowanie funkcji postaci

${\displaystyle {\frac {W_{n}(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}},}$

gdzie ${\displaystyle W_{n}(x)}$ jest wielomianem stopnia ${\displaystyle n,}$ można przeprowadzić używając tzw. wzoru Ostrogradskiego, będącego punktem wyjścia do zastosowania metody współczynników nieoznaczonych.

Wzór Ostrogradskiego

${\displaystyle \int {\frac {W_{n}(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\mathrm {d} x=W_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+A\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}},}$

gdzie ${\displaystyle W_{n-1}(x)}$ jest pewnym wielomianem stopnia ${\displaystyle n-1,}$ oraz ${\displaystyle A}$ jest pewną liczbą. Metoda współczynników nieoznaczonych polega w tym przypadku na wyznaczeniu postaci wielomianu ${\displaystyle W_{n-1}}$ oraz stałej ${\displaystyle A.}$

Bibliografia

• Grigorij Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, T. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 32.
• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, T. 1, PWN, Warszawa 1998, s. 338.