Miara σ-skończona

Miara skończonamiara przypisująca skończoną wartość przestrzeni mierzalnej, na której jest określona.

Miara σ-skończona (półskończona) – miara, dla której przestrzeń może być przedstawiona w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów miary skończonej. Każda miara skończona jest σ-skończona. Pojęcie σ-skończoności uogólnia się mutatis mutandis na dowolne funkcje zbiorów.

Miary, które nie są σ-skończone uznawane są w praktyce matematycznej za miary w pewnym sensie patologiczne. Większość zasadniczych twierdzeń teorii miary (przykładowo twierdzenie Fubiniego czy twierdzenie Radona-Nikodyma) wymaga założenia σ-skończoności miary.

Przykłady

  • Miara Lebesgue’a w przestrzeni nie jest skończona, ale jest σ-skończona, gdyż
  • Miara licząca jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze skończonym oraz σ-skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze przeliczalnym.

Bibliografia