Miara licząca

Miara licząca – miara, która przyporządkowuje zbiorowi liczbę jego elementów – gdy jest to zbiór skończony lub nieskończoność – gdy jest to zbiór nieskończony.

Miara ta pozwala sformułować kryteria zbieżności szeregów poprzez zastosowanie do ciągów twierdzeń teorii całki Lebesgue’a (m.in. o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, Fubiniego, lematu Fatou, zob. dalej).

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie dowolnym zbiorem, niech ${\displaystyle P(X)}$ będzie zbiorem potęgowym zbioru ${\displaystyle X}$(tj. rodziną wszystkich jego podzbiorów). Niech ${\displaystyle |A|}$ oznacza liczbę elementów zbioru, gdy jest on skończony.

Funkcja ${\displaystyle \mu \colon P(X)\to [0,\infty ]}$ określona wzorem

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}|A|,&{\mbox{gdy }}A{\mbox{ jest zbiorem skończonym}},\\\infty ,&{\mbox{gdy }}A{\mbox{ jest zbiorem nieskończonym}},\end{cases}}}$

jest miarą nazywaną miarą liczącą na zbiorze ${\displaystyle X}$ (zob. zbiór skończony).

Przykład: Przestrzenie ${\displaystyle L_{p}(\Gamma ,\mu )}$

Niech dana będzie przestrzeń funkcji ${\displaystyle f}$ określonych na zbiorze ${\displaystyle X,}$ które:

• mają wartości skalarne,
• przyjmują co najwyżej przeliczalnie wiele niezerowych wartości,
• są sumowalne w ${\displaystyle p}$-tej potędze, tzn. dla każdej funkcji ${\displaystyle f}$ tej przestrzeni oraz dla ${\displaystyle p\in [0,\infty )}$ liczba

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\sum _{i\in X}{\big |}f(i){\big |}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

jest liczbą skończoną (przy czym sumowanie przebiega po miejscach niezerowych funkcji).

Z definicji widać, że na zbiorze ${\displaystyle X}$ określona została miara licząca.

Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem ${\displaystyle \ell _{p}(X)}$ i czyta się: przestrzeń funkcyjna funkcji sumowalnych w ${\displaystyle p}$-tej potędze, określonych na zbiorze ${\displaystyle X.}$

Twierdzenia

Tw. 1 Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}(X)}$ są szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnych ${\displaystyle L_{p}(X,\mu ),\,\,p\in [0,\infty )}$ z dowolną miarą ${\displaystyle \mu }$.

Tw. 2 Przestrzeń ${\displaystyle \ell _{p}(X)}$ jest:

• przestrzenią unormowaną, przy czym norma zadana jest wzorem

  ${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\sum _{i\in X}{\big |}f(i){\big |}^{p}\right)^{\frac {1}{p}},}$

• przestrzenią metryczną, z metryką generowaną przez normę, tj.

  ${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{p}=\left(\sum _{i\in X}{\big |}f(i)-g(i){\big |}^{p}\right)^{\frac {1}{p}},}$

• przestrzenią metryczną zupełna, czyli przestrzenią Banacha.

Tw. 3: Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}(X)}$ są refleksywne wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle p\in (1,\infty ).}$

Tw. 4 (o izometrycznym izomorfizmie)

Niech ${\displaystyle p\in [1,\infty ),}$ niech ${\displaystyle q}$ będzie wykładnikem sprzężonym do ${\displaystyle p.}$ Istnieje wówczas izometryczny izomorfizm

${\displaystyle {\big (}\ell _{p}(X){\big )}^{*}\cong \ell _{q}(X)}$

wprowadzany przez standardowe parowanie

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{i\in X}f(i)g(i),}$

gdzie oraz ${\displaystyle g\in \ell _{p}(X).}$