Miara niezmiennicza

Ten artykuł od 2009-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Miara niezmiennicza – miara zachowywana przez pewną funkcję. Są one szczególnym obszarem zainteresowań w studiach nad układami dynamicznymi. Twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa mówi o istnieniu miar niezmienniczych pod pewnymi warunkami względem danych: funkcji i przestrzeni.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ będzie przestrzenią mierzalną i dana będzie funkcja mierzalna ${\displaystyle f\colon X\to X.}$ O mierze ${\displaystyle \mu }$ określonej na ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ mówi się, że jest niezmiennicza ze względu na ${\displaystyle f,}$ jeżeli dla każdego zbioru mierzalnego ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}}$ zachodzi

${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).}$

Rodzinę miar (zwykle probabilistycznych, np. rozkładów prawdopodobieństwa) niezmienniczych na ${\displaystyle X}$ oznacza się czasami symbolem ${\displaystyle \operatorname {M} _{f}(X).}$ Rodzina miar ergodycznych, ${\displaystyle \operatorname {E} _{f}(X),}$ jest podzbiorem ${\displaystyle \operatorname {M} _{f}(X).}$ Co więcej, dowolna kombinacja wypukła dwóch miar niezmienniczych również jest miarą niezmienniczą, zatem ${\displaystyle \operatorname {M} _{f}(X)}$ jest zbiorem wypukłym; ${\displaystyle \operatorname {E} _{f}(X)}$ składa się dokładnie z punktów ekstremalnych ${\displaystyle \operatorname {M} _{f}(X).}$

W przypadku układu dynamicznego ${\displaystyle (X,T,\varphi ),}$ gdzie ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ jest przestrzenią mierzalną jak wyżej, ${\displaystyle T}$ jest monoidem, a ${\displaystyle \varphi \colon T\times X\to X}$ jest odwzorowaniem przepływu (operatorem rozwiązania), to ${\displaystyle \mu }$ określoną na ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ nazywa się miarą niezmienniczą, gdy jest ona niezmiennicza dla każdego odwzorowania ${\displaystyle \varphi _{t}\colon X\to X.}$ Dokładniej, ${\displaystyle \mu }$ jest niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\quad \forall _{t\in T,A\in {\mathfrak {M}}}.}$

Innymi słowy ${\displaystyle \mu }$ jest miarą niezmienniczą ciągu zmiennych losowych ${\displaystyle (Z_{t})_{t>0}}$ (np. łańcuchem Markowa lub rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego), jeżeli zachodzi wynikanie: jeśli ${\displaystyle \mu }$ jest rozkładem warunku początkowego ${\displaystyle Z_{0},}$ to jest ona też rozkładem ${\displaystyle Z_{t}}$ dla dowolnego późniejszego czasu ${\displaystyle t.}$

Przykłady

• Rozważmy prostą rzeczywistą ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z jej standardowym σ-ciałem borelowskim; ustalając ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ weźmy przekształcenie przesunięcia ${\displaystyle \operatorname {T} _{a}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dane wzorem:

  ${\displaystyle \operatorname {T} _{a}(x)=x+a.}$

Wówczas jednowymiarowa miara Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda }$ jest niezmiennicza względem ${\displaystyle \operatorname {T} _{a}.}$

• Ogólniej, w ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ z jej standardową σ-algebrą borelowską ${\displaystyle n}$-wymiarowa miara Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda _{n}}$ jest niezmiennicza względem dowolnej izometrii przestrzeni euklidesowej, tzn. przekształcenia ${\displaystyle \operatorname {T} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$ które może być zapisane wzorem

  ${\displaystyle \operatorname {T} (\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} +\mathbf {b} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {A} \in \operatorname {O} (n)}$ jest pewną macierzą ortogonalną stopnia ${\displaystyle n,}$ a ${\displaystyle \mathbf {b} }$ wektorem z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

• Miara niezmiennicza z pierwszego przykładu jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do trywialnej renormalizacji o stały czynnik. Jednak nie jest to przypadek ogólny: rozważmy następujący zbiór dwuelementowy ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ oraz przekształcenie identycznościowe ${\displaystyle T(x)=x}$ na tym zbiorze. Wówczas dowolna miara probabilistyczna ${\displaystyle \mu \colon 2^{X}\to [0,1]}$ jest niezmiennicza. Zauważmy też, że ${\displaystyle X}$ ma w trywialny sposób podział na ${\displaystyle T}$-niezmiennicze składowe ${\displaystyle \{0\}}$ oraz ${\displaystyle \{1\}.}$