Miara regularna

Miara regularna – miara określona na przestrzeni topologicznej dla której każdy zbiór mierzalny jest „niemal otwarty” i „niemal domknięty”.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ oznacza σ-algebrę określoną na ${\displaystyle X,}$ która zawiera topologię ${\displaystyle \tau }$ (tak więc w ten sposób wszystkie zbiory otwarte i domknięte są mierzalne, czyli dana σ-algebra jest co najmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska). Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą na ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}}).}$ Podzbiór mierzalny ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle \mu }$-regularny, jeśli

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)\colon F\subseteq A,F{\mbox{ - domkniety}}\}}$

oraz

${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)\colon G\supseteq A,G{\mbox{ - otwarty}}\}.}$

Równoważnie ${\displaystyle A}$ jest zbiorem ${\displaystyle \mu }$-regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle \delta >0}$ istnieją zbiory domknięty ${\displaystyle F}$ i otwarty ${\displaystyle G}$ takie, że

${\displaystyle F\subseteq A\subseteq G}$

przy czym

${\displaystyle \mu (G\setminus F)<\delta .}$

Jeżeli każdy zbiór mierzalny jest regularny, to miarę ${\displaystyle \mu }$ nazywa się regularną.

Niektórzy autorzy wymagają, by zbiór ${\displaystyle F}$ był zwarty (a nie tylko domknięty)^[1].

Przykłady

• Zgodnie z twierdzeniem o regularności miary Lebesgue’a: miara Lebesgue’a na prostej rzeczywistej jest miarą regularną.
• Dowolna borelowska miara prawdopodobieństwa na przestrzeni metrycznej jest regularna.
• Miara trywialna, która przypisuje zero dowolnemu zbiorowi mierzalnemu jest regularna.
• Trywialnym przykładem miary nieregularnej na prostej rzeczywistej z jej standardową topologią jest miara ${\displaystyle \mu }$ taka, że

${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{1\}{\bigr )}=0}$

oraz ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$ dla jakiegokolwiek innego zbioru ${\displaystyle A.}$

Przypisy

Bibliografia

• Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.
• Kalyanapuram R. Parthasarathy: Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, s. xii+276. MR2169627. ISBN 0-8218-3889-X. (zob. rozdział 2)
• Richard M. Dudley: Real Analysis and Probability. Chapman & Hall, 1989.

Zobacz też

• miara borelowsko regularna,
• miara wewnętrznie regularna,
• miara zewnętrznie regularna.