Miara wektorowa

Miara wektorowa – addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja

Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest ciałem zbiorów oraz ${\displaystyle E}$ przestrzenią unormowaną, to funkcję ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E,}$ spełniającą warunek

${\displaystyle \nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)}$

dla wszelkich rozłącznych zbiorów ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}},}$ nazywamy miarą wektorową^[1].

Jeśli ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle M,}$ to funkcję ${\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E}$ nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ spełniony jest warunek:

${\displaystyle \nu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})}$

Wahanie i półwahanie

Jeżeli ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E}$ jest miarą wektorową, to funkcję ${\displaystyle |\nu |\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$ określoną wzorem

${\displaystyle |\nu |(A)=\sup \left\{\sum _{P\in \Pi }\|\nu (P)\|\colon \Pi \right\},}$ gdzie ${\displaystyle \Pi \subset {\mathcal {F}}}$ jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że ${\displaystyle \bigcup \Pi =A}$ nazywamy wahaniem miary wektorowej ${\displaystyle \nu .}$

Funkcję ${\displaystyle \|\nu \|\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ],}$ określoną wzorem

${\displaystyle \|\nu \|(A)=\sup\{|x^{\star }\circ \nu |(A)\colon x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}}$

nazywamy półwahaniem miary wektorowej ${\displaystyle \nu .}$

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle M,}$ a ${\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} }$ jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to

${\displaystyle |\nu |=\|\nu \|=\nu ^{+}+\nu ^{-},}$ gdzie ${\displaystyle \nu ^{+},\nu ^{-},}$ to odpowiednio wahanie górne i dolne.

• Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
• Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
• Jeżeli ${\displaystyle \nu }$ jest miarą wektorową, to ${\displaystyle \|\nu \|\leqslant |\nu |.}$
• Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
• Niech ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\sigma ({\mathcal {F}})}$ (σ-ciało generowane przez ciało ${\displaystyle {\mathcal {F}};}$ porównaj: definicję). Jeśli ${\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E}$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ zachodzi równość: ${\displaystyle |\nu |_{\mathcal {F}}|(A)=|\nu |(A).}$
• Jeżeli wahanie miary wektorowej ${\displaystyle \nu }$ jest miarą skończoną, to ${\displaystyle \nu }$ jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
• Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
• Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady

Miara wektorowa (skończenie addytywna).

Niech ${\displaystyle T\colon L_{\infty }[0,1]\to X}$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue’a) podzbioru ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ określmy odwzorowanie

${\displaystyle \nu (A)=T(\chi _{A}),}$ gdzie ${\displaystyle \chi _{A}}$ jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech ${\displaystyle T\colon L_{1}[0,1]\to X}$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja ${\displaystyle \nu }$ dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego ${\displaystyle A\subset [0,1]}$

${\displaystyle \|\nu (A)\|\leqslant l(A)\|T\|,}$ gdzie ${\displaystyle l}$ jest miarą Lebesgue’a.

Wówczas, także ${\displaystyle \|\nu \|(A)\leqslant l(A)\|T\|,}$ co dowodzi, że ${\displaystyle \nu }$ jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{[0,1]}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle [0,1]}$ mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcja ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {L}}|_{[0,1]}\to L_{\infty }[0,1]}$ dana wzorem

${\displaystyle \nu (A)=\chi _{A},}$ dla ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}|_{[0,1]}}$ jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{A\subseteq \mathbb {N} \colon |A|<\aleph _{0}\vee |\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\}.}$ Funkcja ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} }$ dana wzorem

${\displaystyle \nu (A)=\left\{{\begin{array}{ll}|A|,&|A|<\aleph _{0}\\-|A|,&|\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\end{array}}\right.}$ jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności można znaleźć w^[2].

Zobacz też

• wektor

Przypisy