Miara wewnętrznie regularna

Miara wewnętrznie regularna – miara, dla której miara zbioru może być przybliżana od dołu przez podzbiory zwarte.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ σ-algebrą na ${\displaystyle X}$ zawierającą topologię ${\displaystyle \tau }$ (tak, że każdy zbiór otwarty jest zarazem mierzalny, a ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ jest co najmniej tak silna, jak σ-algebra borelowska na ${\displaystyle X}$). Miarę ${\displaystyle \mu }$ określoną na przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ nazywa się wewnętrznie regularną, jeżeli dla każdego zbioru ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}}$ zachodzi

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (K)\colon {\mbox{zwarty }}K\subseteq A\}.}$

Własność tę określa się czasami słownie jako „przybliżanie od dołu przez zbiory zwarte”.

Niektórzy autorzy^[1][2] używają terminu „ciasna (jędrna)” jako synonimu dla „wewnętrznie regularna”. Nazwa ta jest blisko związana z jędrnością rodziny miar, ponieważ miara ${\displaystyle \mu }$ jest wewnętrznie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje pewny podzbiór zwarty ${\displaystyle K\subseteq X}$ taki, że ${\displaystyle \mu (X\setminus K)<\varepsilon .}$ Jest to dokładnie warunek na to, aby jednoelementowa rodzina miar ${\displaystyle \{\mu \}}$ była jędrna.

Zobacz też

• miara Radona
• miara regularna
• miara wewnętrzna

Przypisy