Miara zespolona

Miara zespolona – szczególny przypadek przeliczalnie addytywnej miary wektorowej. Przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów, określona na pewnym σ-ciele o wartościach w zbiorze liczb zespolonych. Dla miar zespolonych, podobnie jak dla miar wektorowych, definiuje się pojęcie wahania i półwahania miary zespolonej. Wszystkie twierdzenia prawdziwe dla miar wektorowych przeliczalnie addytywnych (o wartościach w przestrzeni Banacha – gdy to założenie jest potrzebne) są prawdziwe, w szczególności, dla miar zespolonych.

Definicja

Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle M,}$ to funkcję ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {C} ,}$ spełniającą warunek

${\displaystyle \nu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})}$

dla każdego ciągu ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ nazywamy miarą zespoloną.

Postać biegunowa

Jeżeli ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {C} }$ jest miarą zespoloną, określoną na σ-ciele podzbiorów zbioru ${\displaystyle M,}$ to istnieje wówczas funkcja mierzalna ${\displaystyle h}$ taka, że ${\displaystyle |h(x)|=1}$ dla ${\displaystyle x\in M}$ oraz ${\displaystyle d\nu =hd|\nu |,}$ gdzie ${\displaystyle |\nu |}$ oznacza wahanie miary zespolonej ${\displaystyle \nu .}$

Poprzez analogię do przedstawienia liczby zespolonej w postaci iloczynu jej modułu przez liczbę o module równym ${\displaystyle 1,}$ równanie to jest czasem nazywane postacią biegunową (lub rozkładem biegunowym) miary ${\displaystyle \nu .}$

Bibliografia

• Rudin, W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, ​ISBN 83-01-05124-8​.