Miara zewnętrzna

Miara zewnętrzna – monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował^[1] grecki matematyk Constantin Carathéodory^[2]; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.

Miary zewnętrzne znalazły wiele zastosowań w teoriomiarowej teorii mnogości: wykorzystuje się przede wszystkim do konstrukcji miar, w tym miary Lebesgue’a, za pomocą twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzeniu miary; ponadto były one kluczowe do zdefiniowania przez Feliksa Hausdorffa wymiaropodobnego niezmiennika metrycznego nazywanego dziś wymiarem Hausdorffa.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ oznacza zbiór potęgowy pewnego zbioru ${\displaystyle X.}$ Funkcję ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$ nazywa się miarą zewnętrzną (w zbiorze ${\displaystyle X}$), gdy spełnia następujące warunki:

• ${\displaystyle \theta (\varnothing )=0,}$
• jeżeli ${\displaystyle A\subseteq B,}$ to ${\displaystyle \theta (A)\leqslant \theta (B)}$ dla dowolnych ${\displaystyle A,B\subseteq X,}$
• ${\displaystyle \theta {\Big (}\bigcup _{n=1}^{\infty }~A_{n}{\Big )}\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }~\theta (A_{n})}$ dla dowolnych ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \subseteq X.}$

Twierdzenie Carathéodory’ego

Niech ${\displaystyle \theta }$ będzie miarą zewnętrzną w zbiorze ${\displaystyle X.}$ Mówi się, że zbiór ${\displaystyle E\subseteq X}$ spełnia warunek Carathéodory’ego względem ${\displaystyle \theta ,}$ jeśli dla każdego ${\displaystyle A\subseteq X}$ spełniona jest równość

${\displaystyle \theta (A)=\theta (A\cap E)+\theta (A\cap E^{\operatorname {c} }),}$

która (z monotoniczności funkcji ${\displaystyle \theta }$) jest równoważna równości

${\displaystyle \theta (A)\geqslant \theta (A\cap E)+\theta (A\cap E^{\operatorname {c} }).}$

Równoważnie można to wyrazić następująco: zbiór ${\displaystyle E}$ spełnia warunek Carathéodory’ego, gdy dla dowolnych zbiorów wewnętrznego ${\displaystyle W\subseteq E}$ oraz zewnętrznego ${\displaystyle Z\subseteq E^{\operatorname {c} }}$ spełniona jest równość:

${\displaystyle \theta (W\cup Z)=\theta (W)+\theta (Z).}$

Rodzinę zbiorów ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\theta )}$ spełniających warunek Carathéodory’ego (względem ${\displaystyle \theta }$) nazywa się też zbiorami mierzalnymi w sensie Carathéodory’ego. Twierdzenie Carathéodory’ego mówi, że ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\theta )}$ jest σ-ciałem, a ${\displaystyle \theta }$ zawężona do ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\theta )}$ jest miarą zupełną, nazywaną miarą wyciętą z ${\displaystyle \theta .}$

Przykłady

Miara zewnętrzna wyznaczona przez miarę

Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą na przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}}).}$ Funkcja ${\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$ dana wzorem

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf\{\mu (E)\colon \,A\subseteq E,\,E\in {\mathcal {F}}\}}$

jest miarą zewnętrzną nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę ${\displaystyle \mu .}$

Jeżeli ${\displaystyle \mu }$ jest miarą wyciętą z miary zewnętrznej ${\displaystyle \theta }$ przy użyciu metody Caratheodory’ego oraz ${\displaystyle \mu ^{*}}$ jest miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę ${\displaystyle \mu ,}$ to na ogół miary ${\displaystyle \theta }$ i ${\displaystyle \mu ^{*}}$ są różne. W przypadku, gdy ${\displaystyle \mu }$ jest miarą Lebesgue’a (którą można skonstruować przy użyciu wspomnianej metody z miary zewnętrznej Lebesgue’a ${\displaystyle \theta }$), to ${\displaystyle \theta =\mu ^{*}.}$

Miara zewnętrzna wyznaczona przez funkcję zbiorów

Niech ${\displaystyle X}$ będzie niepustym zbiorem oraz ${\displaystyle \gamma \colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$ będzie dowolną funkcją. Funkcja ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$ dana wzorem

${\displaystyle \theta (A)=\inf {\Bigg \{}\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\gamma (B)\colon {\mathcal {C}}}$ jest przeliczalną rodziną zbiorów, których suma pokrywa ${\displaystyle A{\Bigg \}}.}$

jest miarą zewnętrzną, nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez funkcję zbiorów ${\displaystyle \gamma .}$

Miara zewnętrzna Hausdorffa i jej modyfikacje

Niech ${\displaystyle (X,d)}$ będzie przestrzenią metryczną, ${\displaystyle \gamma \colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$ będzie dowolną funkcją oraz ${\displaystyle \delta >0.}$ Funkcja ${\displaystyle \theta _{\gamma ,\delta }}$ dana wzorem

${\displaystyle \theta _{\gamma ,\delta }(A)=\inf {\Bigg \{}\sum _{B\in z{\mathcal {C}}_{\delta }}\gamma (B)\colon {\mathcal {C}}_{\delta }}$ jest przeliczalną rodziną zbiorów o średnicy nie większej niż ${\displaystyle \delta ,}$ których suma pokrywa ${\displaystyle A{\Bigg \}}}$

jest miarą zewnętrzną w zbiorze ${\displaystyle X.}$

Jeżeli ${\displaystyle A\subseteq X}$ oraz ${\displaystyle \delta <\delta ^{'},}$ to ${\displaystyle \theta _{\gamma ,\delta }(A)\geqslant \theta _{\gamma ,\delta ^{'}}(A).}$ Funkcja dana wzorem

${\displaystyle \theta _{\gamma }(A)=\sup\{\theta _{\gamma ,\delta }(A)\colon \delta >0\}}$

jest również miarą zewnętrzną. Jeżeli ${\displaystyle r>0}$ oraz funkcja ${\displaystyle \gamma }$ dana jest wzorem

${\displaystyle \gamma (A)=(\operatorname {diam} A)^{r},}$

to miara zewnętrzna ${\displaystyle \theta _{\gamma }}$ nazywana jest r-wymiarową miarą zewnętrzną Hausdorffa w X.

Miary zewnętrzne metryczne

Niech ${\displaystyle (X,d)}$ będzie przestrzenią metryczną oraz ${\displaystyle \theta }$ będzie miarą zewnętrzną w ${\displaystyle X.}$ Miarę ${\displaystyle \theta }$ nazywa się miarą zewnętrzną metryczną (w przestrzeni ${\displaystyle X}$), gdy

${\displaystyle \theta (A\cup B)=\theta (A)+\theta (B)}$

dla wszystkich ${\displaystyle A,B\subseteq X,}$ dla których

${\displaystyle d(A,B)=\inf\{d(x,y)\colon \,x\in A,\,y\in B\}>0}$

(w przypadku, gdy jeden ze zbiorów ${\displaystyle A}$ lub ${\displaystyle B}$ jest pusty przyjmuje się, że ${\displaystyle d(A,B)=\infty }$).

Jeśli ${\displaystyle \theta }$ jest miarą zewnętrzną metryczną w ${\displaystyle X,}$ to dla każdego takiego ciągu podzbiorów ${\displaystyle (A_{n})}$ zbioru ${\displaystyle X}$ o tej własności, że

${\displaystyle d(A_{n},A\setminus A_{n+1})>0}$

dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n,}$ który spełnia warunek

${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n},}$

zachodzi równość

${\displaystyle \theta (A)=\sup\{\theta (A_{n})\colon \;n=1,2,\dots \}.}$

Ponadto wszystkie domknięte podzbiory przestrzeni ${\displaystyle X}$ są mierzalne w sensie Carathéodory’ego względem ${\displaystyle \theta ,}$ wynika więc stąd, że i każdy borelowski podzbiór przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego względem ${\displaystyle \theta .}$

Przypisy

Bibliografia

• David Fremlin: Measure Theory. T. 1: The Irreducible Minimum. University of Essex, 2004.
• David Fremlin: Measure Theory. T. 4: Topological Measure Spaces. Torres Fremlin, 2003, s. 100–101.
• Paul Halmos: Measure theory. D. van Nostrand and Co., 1950.
• Marshall E. Munroe: Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley, 1953.
• Andriej N. Kołmogorow, Siergiej W. Fomin: Introductory Real Analysis. Richard A. Silverman (tł.). Nowy Jork: Dover Publications, 1970. ISBN 0-486-61226-0.
• Claude A. Rogers: Hausdorff measures. Wyd. III. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, s. xxx + 195, seria: Cambridge Mathematical Library. ISBN 0-521-62491-6.