Model Drudego

W modelu Drudego poruszające się elektrony (niebieskie) zderzają się z jonami sieci krystalicznej (czerwone)

Model Drudego (również model elektronów swobodnych, model gazu elektronów swobodnych) – model przewodnictwa elektrycznego ciał stałych (głównie metali) zaproponowany przez Paula Drudego w 1900 r.^[1][2]

Model stosuje do elektronów klasyczną kinetyczną teorię gazów, zakładając, że bezładny ruch elektronów swobodnych w metalu odbywa się podobnie jak ruch cząsteczek w gazie i że są one rozpraszane na skutek zderzeń z nieruchomymi jonami sieci krystalicznej.

Półklasyczny model Drudego-Sommerfelda stosuje klasyczne równania ruchu, ale rozkład prędkości elektronów opisuje za pomocą kwantowego rozkładu Fermiego-Diraca.

Niekiedy modelem elektronów swobodnych bywa krótko nazywany model elektronów prawie swobodnych.

Model

Elektrony poruszają się w polu elektrycznym ${\displaystyle {\vec {E}}.}$ Jednocześnie wykonują chaotyczne ruchy termiczne, zderzając się z jonami sieci krystalicznej^[a], a ich prędkość ruchu termicznego jest tak duża, że pomiędzy zderzeniami zachodzącymi średnio co czas ${\displaystyle \tau }$ uzyskują jedynie niewielki pęd ${\displaystyle d{\vec {p}}.}$ Średni przyrost pędu elektronu na skutek działania pola elektrycznego wyniesie wtedy:

${\displaystyle d\langle {\vec {p}}\rangle =q{\vec {E}}\tau .}$

Model zakłada, że wszystkie kierunki rozproszenia elektronu w wyniku zderzenia z jonami sieci są jednakowo prawdopodobne, zatem można zaniedbać średni pęd elektronu bezpośrednio po zderzeniu, co prowadzi do wyrażenia na średni pęd uzyskany przez elektron^[b]:

${\displaystyle \langle {\vec {p}}\rangle =q{\vec {E}}\tau .}$

Ponieważ średni pęd jest równy

${\displaystyle \langle {\vec {p}}\rangle =m\langle {\vec {v}}\rangle }$

(średnia prędkość ${\displaystyle \langle {\vec {v}}\rangle }$ jest też nazywana prędkością unoszenia), gęstość prądu elektrycznego można zapisać jako:

${\displaystyle {\vec {J}}=nq\langle {\vec {v}}\rangle ,}$

gdzie ${\displaystyle n}$ jest koncentracją elektronów,

wówczas:

${\displaystyle {\vec {J}}=\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right){\vec {E}}.}$

Równanie to wyjaśnia ilościowo liniową zależność pomiędzy gęstością prądu i polem elektrycznym (prawo Ohma) – co było sukcesem modelu Drudego. Wielkość

${\displaystyle \mu ={\frac {q\tau }{m}}}$

nazywa się ruchliwością elektronów, a ostatnie równanie na gęstość prądu można zapisać jako:

${\displaystyle {\vec {J}}=qn\mu {\vec {E}}.}$

Rozszerzenia modelu

W 1905 roku Hendrik Lorentz opracował dokładniejszy model, w którym zrezygnował z uproszczenia zakładającego stałą prędkość termiczną elektronów i przyjął, że jej rozkład jest opisany przez rozkład Maxwella-Boltzmanna. Rezultaty tego modelu nie różniły się znacząco od podstawowego modelu Drudego.

Rozwój fizyki kwantowej i odkrycie zasady Pauliego skłoniły Arnolda Sommerfelda do zastosowania rozkładu Fermiego-Diraca zamiast rozkładu Maxwella-Boltzmanna. Jego model nosi nazwę modelu Drudego-Sommerfelda i jest często określany jako półklasyczny. W procesach transportu biorą udział elektrony znajdujące się w pobliżu poziomu Fermiego. Takie podejście jest możliwe jedynie wtedy, gdy żądana dokładność określenia położenia i pędu nie narusza zasady nieoznaczoności.

Rezultaty i zastosowania

Prosty klasyczny model Drudego wyjaśnia przewodnictwo metali (choć nie daje informacji o zależności przewodnictwa od temperatury), klasyczny efekt Halla, elektronowe przewodnictwo cieplne i prawo Wiedemanna-Franza^[c]. Niestety, zawodzi w innych przypadkach – na przykład przy obliczeniach wielkości elektronowej składowej ciepła właściwego, w wielu wypadkach daje też wielkości parametrów liczbowych mocno niezgodne z doświadczeniem.

Model Drudego-Sommerfelda prawidłowo określił elektronową składową ciepła właściwego, ale nie rozwiązał wielu innych problemów. Podstawową wadą modelu jest zaniedbanie wpływu jonów sieci na ruch elektronów między zderzeniami. Został on uwzględniony w modelu elektronów prawie swobodnych zbudowanym w oparciu o formalizmy mechaniki kwantowej.

Model może być zastosowany również do opisu dziur, choć nie przewiduje ich istnienia.

Zobacz też

• gaz elektronowy

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Fizyka ciała stałego. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986. ISBN 83-01-05360-7.