Moduł ilorazowy

Ten artykuł od 2011-07 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Moduł ilorazowy – struktura tworzona dla dowolnego modułu i jego podmodułu. Konstrukcja opisana niżej jest analogiczna do otrzymywania pierścienia liczb całkowitych modulo n (zobacz: arytmetyka modularna). W ten sam sposób powstają też grupa ilorazowa i pierścień ilorazowy.

Definicja

Niech dany będzie (lewostronny) moduł ${\displaystyle M}$ nad pierścieniem ${\displaystyle R}$ oraz podmoduł ${\displaystyle N}$ tego modułu. Przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle M/N}$ zdefiniowana jest za pomocą następującej relacji równoważności:

${\displaystyle m\sim n}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle m-n\in N}$

dla dowolnych ${\displaystyle m,n\in M.}$ Elementami ${\displaystyle M/N}$ są klasy abstrakcji postaci

${\displaystyle [m]=\{m+n\colon n\in N\}.}$

Działanie dodawania w ${\displaystyle M/N}$ określone jest dla dwóch klas równoważności jako klasa równoważności sumy dwóch reprezentantów tych klas; podobnie definiuje się iloczyn przez elementy z ${\displaystyle R.}$ Tym sposobem przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle M/N}$ sama staje się modułem nad ${\displaystyle R}$ nazywanym modułem ilorazowym. Symbolicznie:

${\displaystyle [m]+[n]=[m+n]}$ i

${\displaystyle r[m]=[rm]}$

dla dowolnych ${\displaystyle m,n\in M}$ oraz ${\displaystyle r\in R.}$

Dla modułu ${\displaystyle M}$ i podmodułu ${\displaystyle N\subseteq M}$

Moduł ilorazowy to przestrzeń klas bstrakcji ${\displaystyle M/N}$ działaniami określonymi powyżej.

Przykłady

Niech dany będzie pierścień ${\displaystyle \mathbb {R} }$ liczb rzeczywistych i ${\displaystyle \mathbb {R} }$-moduł ${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$ czyli pierścień wielomianów o rzeczywistych współczynnikach. Rozważmy podmoduł

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

modułu ${\displaystyle A,}$ to jest podmoduł wszystkich wielomianów podzielnych przez ${\displaystyle X^{2}+1.}$ Okazuje się, że relacją równoważności określoną przez ten moduł jest

${\displaystyle P(X)\sim Q(X)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle P(X)}$ oraz ${\displaystyle Q(X)}$ dają tę samą resztę z dzielenia przez ${\displaystyle X^{2}+1.}$

Dlatego w module ilorazowym ${\displaystyle A/B}$ wielomian ${\displaystyle X^{2}+1}$ będzie tym samym co ${\displaystyle 0}$ i stąd może być on postrzegany jako otrzymany z ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ przez utożsamienie ${\displaystyle X^{2}+1=0.}$ Moduł ilorazowy ${\displaystyle A/B}$ jest izomorficzny z liczbami zespolonymi postrzeganymi jako moduł nad liczbami rzeczywistymi ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Własności

Tę sekcję należy dopracować: własności/twierdzenia nie są jasno sformułowane i nie wiadomo o co w nich chodzi. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.

• Moduł ilorazowy ${\displaystyle M/N}$ jest obrazem homomorficznym modułu ${\displaystyle M}$ przez homomorfizm o jądrze ${\displaystyle N}$ dany wzorem

${\displaystyle \pi :M\longrightarrow M/N:m\mapsto m+N.}$

Odwzorowanie ${\displaystyle \pi }$ jest nazywane projekcją modułu ${\displaystyle M}$ na moduł ilorazowy ${\displaystyle M/N}$.

• Twierdzenie o izomorfizmie: dla dwóch podmodułów ${\displaystyle M,N}$ modułu ${\displaystyle Q}$ prawdziwe jest

  ${\displaystyle M/(M\cap N)\simeq (M+S)/N.}$

dla podmodułu ${\displaystyle N\subseteq Q\subseteq P}$ zachodzi

${\displaystyle (P/N)/(Q/N)\simeq P/Q.}$

• Istnieje kanoniczna odpowiedniość pomiędzy klasą izomorfizmów monomorfizmów w ${\displaystyle M}$ a klasą izomorfizmów epimorfizmów z ${\displaystyle M;}$ monomorfizm ${\displaystyle I\colon N\to M}$ odpowiada modułowi ilorazowemu ${\displaystyle M/i(N),}$ a epimorfizm ${\displaystyle P\colon M\to Q}$ odpowiada podmodułowi ${\displaystyle \ker P.}$
• Jeżeli moduł jest skończenie generowany lub ma skończoną długość, to taki jest też jego dowolny moduł ilorazowy.
• Jeżeli ${\displaystyle B}$ jest ${\displaystyle A}$-algebrą (łączną, z jedynką), to

  ${\displaystyle B\otimes _{A}(M/N)\simeq (B\otimes _{A}M)/U,}$

gdzie ${\displaystyle U}$ jest obrazem ${\displaystyle B\otimes _{A}N}$ w ${\displaystyle B\otimes _{A}M.}$

• Jeżeli ${\displaystyle I}$ jest (obustronnym) ideałem w ${\displaystyle A,}$ to moduł ilorazowy ${\displaystyle A/I}$ jest tym samym co pierścień ilorazowy ${\displaystyle A/I.}$