Moment centralny

Moment centralny rzędu ${\displaystyle k}$ (gdzie ${\displaystyle k=1,2,\dots }$) zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ to wartość oczekiwana funkcji ${\displaystyle [X-E(X)]^{k},}$ tzn.:

${\displaystyle \mu _{k}=E[X-E(X)]^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\sum _{i}{[x_{i}-E(X)]^{k}p_{i}}}&{(1)}\\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{[x-E(X)]^{k}f(x)dx}}&{(2)}\end{matrix}}\right.}$

gdzie:

${\displaystyle X}$ – zmienna losowa,

${\displaystyle E(X)}$ – wartość oczekiwana zmiennej losowej ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle p}$ – funkcja prawdopodobieństwa,

${\displaystyle f}$ – funkcja gęstości.

Wzory (1) i (2) stosować należy odpowiednio dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym i ciągłym.

Dla ${\displaystyle k=2}$ otrzymuje się wzór na wariancję, zatem jest ona drugim momentem centralnym ${\displaystyle \mu _{2}.}$ Często korzysta się również z trzeciego momentu centralnego, którego wartość pozwala wnioskować o asymetrii rozkładu empirycznego. Czwarty moment centralny znajduje swe zastosowanie przy obliczaniu kurtozy.

Zobacz też

• moment zwykły