Monomorfizm

Diagram przemienny monomorfizmu

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów ${\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Z\to X}$ zachodzi^[1]:

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje monomorfizm jako homomorfizm różnowartościowy (iniektywny)^[2]. Każdy monomorfizm w ten sposób zdefiniowany jest monomorfizmem w sensie teorii kategorii; mimo wszystko istnieją kategorie, w których się one nie pokrywają. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm.

Związek z odwracalnością

Przekształcenia lewostronnie odwracalne są monomorfizmami: jeśli ${\displaystyle l}$ jest lewostronną odwrotnością ${\displaystyle f,}$ tzn. ${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X},}$ to ${\displaystyle f}$ jest monomorfizmem, gdyż

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

Przekształcenia lewostronnie odwracalne nazywa się sekcjami albo koretrakcjami.

Przekształcenie ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie indukowane ${\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Hom} (Z,X)\to \operatorname {Hom} (Z,Y)}$ zdefiniowane dla wszystkich morfizmów ${\displaystyle h\colon Z\to X}$ wzorem ${\displaystyle f_{*}h=f\circ h}$ jest różnowartościowe dla wszystkich ${\displaystyle Z.}$

Monomorfizm normalny

Monomorfizm jest normalny, jeśli jest jądrem jakiegoś morfizmu. Jeśli każdy monomorfizm pewnej kategorii jest normalny, to nazywamy ją kategorią normalną^[3].

W kategorii Gr każdy monomorfizm można utożsamić z włożeniem homomorficznym jednej grupy w drugą. Monomorfizm ten jest normalny, jeśli obraz grupy wkładanej jest dzielnikiem normalnym tej drugiej. Dlatego kategoria Gr nie jest normalna. Natomiast kategorie Ab i Vect są kategoriami normalnymi.

Zobacz też

• izomorfizm
• podobiekt
• zanurzenie

Przypisy

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

Literatura dodatkowa

• Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].