Negacja

Negacja (z łac. negatio^[1] inaczej zaprzeczenie, ¬) – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapisywana jest jako: ${\displaystyle \neg \,p}$ (także ${\displaystyle \sim p}$ lub ${\displaystyle p'}$). Negację można zdefiniować ściślej jako jednoargumentowe działanie (funktor zdaniotwórczy) określone w zbiorze zdań, które każdemu zdaniu p przyporządkowuje zdanie nie p^[2][3]. Inne przyjęte sposoby odczytywania zdania ${\displaystyle \neg \,p}$ to nieprawda, że p^[4] i nie jest tak, że p^[5].

Definicja

Niech ${\displaystyle \mathbb {B} }$ będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: ${\displaystyle \mathbb {B} =\{0,1\}.}$ Negacja ${\displaystyle \neg \,:\mathbb {B} \to \mathbb {B} }$ jest funkcją ze zbioru ${\displaystyle \mathbb {B} }$ w zbiór ${\displaystyle \mathbb {B} }$^[a], określoną następująco:

${\displaystyle \neg \,p=1-p}$^[6],

czyli

${\displaystyle \neg \,0=1}$

${\displaystyle \neg \,1=0}$^[7].

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe^[7][3][8].

gdzie:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe)

0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

Notacja

Zestawienie symboli negacji, używanych przez różnych autorów^[9][10]:

Do oznaczenia negacji stosowana jest także angielska partykuła NOT (funkcja boolowska).

Własności

W klasycznym rachunku zdań poniższe własności są tautologiami (zdaniami zawsze prawdziwymi, bez względu na wartości logiczne zdań składowych).

Prawo podwójnego przeczenia

Złożenie dwóch negacji daje w wyniku przekształcenie identycznościowe:

${\displaystyle \neg \,(\neg \,p)\Leftrightarrow p}$^[11],

gdzie ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ jest znakiem równoważności (oznacza: wtedy i tylko wtedy, gdy).

Przykład:

• Niech zdanie ${\displaystyle p}$ oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$ ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
• Natomiast ${\displaystyle \neg \,(\neg \,p)}$ można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu ${\displaystyle p}$).

Prawo wyłączonego środka

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe^[12]:

${\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p}$^[11][13],

gdzie ${\displaystyle \lor }$ jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

• Niech zdanie ${\displaystyle p}$ ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$ to Jutro nie będzie padał deszcz.
• Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
• Ich alternatywa ${\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p}$ (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Zasada niesprzeczności

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności^[12]) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe^[14] (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe^[13]):

${\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)}$^[14][13],

gdzie ${\displaystyle \land }$ jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik ‘i’).

Przykład:

• Niech ${\displaystyle p}$ będzie zdaniem Mam ciastko.
• Wówczas ${\displaystyle \neg \,p}$ ma postać: Nie mam ciastka.
• Ich koniunkcja ${\displaystyle p\,\land \,\neg \,p}$ to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
• Zaprzeczenie tej koniunkcji ${\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)}$ (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Zobacz też

• algebra Boole’a
• bramka NOT
• kwantyfikator

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975. OCLC 749328557.
• Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
• Jerzy Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna. Wyd. 2. popr. i uzup. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-12958-1.

Linki zewnętrzne

• Laurence R.L.R. Horn Laurence R.L.R., HeinrichH. Wansing HeinrichH., Negation, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy [online], CSLI, Stanford University, 20 lutego 2020, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-02-21]  (ang.).