Negacja
Negacja (z łac. negatio[1] inaczej zaprzeczenie, ¬) – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapisywana jest jako: (także lub ). Negację można zdefiniować ściślej jako jednoargumentowe działanie (funktor zdaniotwórczy) określone w zbiorze zdań, które każdemu zdaniu p przyporządkowuje zdanie nie p[2][3]. Inne przyjęte sposoby odczytywania zdania to nieprawda, że p[4] i nie jest tak, że p[5].
Definicja
Niech będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: Negacja jest funkcją ze zbioru w zbiór [a], określoną następująco:
- [6],
czyli
- [7].
Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe[7][3][8].
0 | 1 |
1 | 0 |
gdzie:
- 1 – prawda (lub zdanie prawdziwe)
- 0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).
Notacja
Zestawienie symboli negacji, używanych przez różnych autorów[9][10]:
Schröder Peirce | Peano Russell | Hilbert | Łukasiewicz | |
---|---|---|---|---|
Negacja |
Do oznaczenia negacji stosowana jest także angielska partykuła NOT (funkcja boolowska).
Własności
W klasycznym rachunku zdań poniższe własności są tautologiami (zdaniami zawsze prawdziwymi, bez względu na wartości logiczne zdań składowych).
Prawo podwójnego przeczenia
Złożenie dwóch negacji daje w wyniku przekształcenie identycznościowe:
- [11],
gdzie jest znakiem równoważności (oznacza: wtedy i tylko wtedy, gdy).
Podwójne przeczenie się znosi, lub po łacinie: duplex negatio affirmat, tzn. podwójne przeczenie, to tyle co twierdzenie[12].
Przykład:
- Niech zdanie oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
- Wówczas ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
- Natomiast można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu ).
Prawo wyłączonego środka
Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe[12]:
gdzie jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).
Przykład:
- Niech zdanie ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
- Wówczas to Jutro nie będzie padał deszcz.
- Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
- Ich alternatywa (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.
Zasada niesprzeczności
Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności[12]) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe[14] (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe[13]):
gdzie jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik ‘i’).
Przykład:
- Niech będzie zdaniem Mam ciastko.
- Wówczas ma postać: Nie mam ciastka.
- Ich koniunkcja to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
- Zaprzeczenie tej koniunkcji (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.
Zobacz też
- algebra Boole’a
- bramka NOT
- kwantyfikator
Uwagi
- ↑ Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że negacja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).
Przypisy
- ↑ Od negare ‘przeczyć’ (Słownik Wyrazów Obcych).
- ↑ Mostowski 1948 ↓, s. 7–8.
- ↑ a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 166.
- ↑ Słupecki, Hałkowska i Piróg-Rzepecka 1999 ↓, s. 13.
- ↑ Ajdukiewicz 1957 ↓, s. 74.
- ↑ Ross i Wright 1996 ↓, s. 588.
- ↑ a b Mostowski 1948 ↓, s. 7.
- ↑ Grzegorczyk 1975 ↓, s. 67.
- ↑ Mostowski 1948 ↓, s. 13.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 170.
- ↑ a b Mostowski 1948 ↓, s. 26.
- ↑ a b c Ajdukiewicz 1957 ↓, s. 75.
- ↑ a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 173.
- ↑ a b Mostowski 1948 ↓, s. 27.
Bibliografia
- Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
- Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975. OCLC 749328557.
- Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
- Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
- Jerzy Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna. Wyd. 2. popr. i uzup. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-12958-1.
Linki zewnętrzne
- Laurence R. Horn , Heinrich Wansing , Negation, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy [online], CSLI, Stanford University, 20 lutego 2020, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-02-21] (ang.).