Niejednorodny proces Poissona

Niejednorodny (niestacjonarny) proces Poissona – liczący proces stochastyczny

Definicja

${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$ nazywamy niejednorodnym procesem Poissona z funkcją intensywności ${\displaystyle \lambda (t),t\geq 0}$ jeśli:

1. ${\displaystyle N_{0}=0.}$
2. ${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$ ma niezależne przyrosty.
3. ${\displaystyle P(N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda (t)h+o(h).}$
4. ${\displaystyle P(N_{t+h}-N_{t}\geq 2)=o(h).}$

Gdy ${\displaystyle \lambda (t)=\lambda }$ to otrzymujemy jednorodny proces Poissona

Funkcja średnia

Definicja. Funkcją średniej niejednorodnego procesu Poissona nazywamy funkcję ${\displaystyle m(t)=\int _{0}^{t}\lambda (s)ds.}$

Własności

Można wykazać, że ${\displaystyle N_{t+s}-N_{t}\sim Pois(m(s+t)-m(t)).}$ Widać tutaj dlaczego funkcja m nosi nazwę funkcji średniej. Mianowicie ${\displaystyle N_{t}\sim Pois(m(t))}$ oraz ${\displaystyle E(N_{t})=m(t).}$