Nierówność Lévy’ego

Nierówność Lévy’ego jest jedną z nierówności maksymalnych.

Służy do szacowania prawdopodobieństwa, że ${\displaystyle \max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|}$ jest większe lub równe od pewnej ustalonej liczby rzeczywistej (gdzie ${\displaystyle S_{k}}$ to suma niezależnych symetrycznych zmiennych losowych) przez prawdopodobieństwo, że ostatnia z tych sum – ${\displaystyle S_{n}}$ jest większa lub równa niż ta sama liczba rzeczywista (z dokładnością do stałej).

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle X_{i}}$ będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi. Niech ${\displaystyle S_{k}=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}.}$ Wówczas dla ${\displaystyle s>0}$ zachodzi

${\displaystyle P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant s)\leqslant 2P(|S_{n}|\geqslant s)}$

Dowód

Oznaczmy ${\displaystyle A_{k}=\{|S_{1}|<s,|S_{2}|<s,\dots ,|S_{k-1}|<s,|S_{k}|\geqslant s\}.}$

Zauważmy, że ${\displaystyle A_{k}\subset (A_{k}\cap \{|S_{k}+(S_{n}-S_{k})|\geqslant s\})\cup (A_{k}\cap \{|S_{k}-(S_{n}-S_{k})|\geqslant s\}).}$

Ponieważ zmienne ${\displaystyle X_{k}}$ są symetryczne, więc łączny rozkład ${\displaystyle (S_{1},S_{2},\dots ,S_{k},(S_{n}-S_{k}))}$ jest identyczny jak łączny rozkład ${\displaystyle (S_{1},S_{2},\dots ,S_{k},-(S_{n}-S_{k})).}$

Zatem ${\displaystyle P(A_{k})\leqslant 2P(A_{k}\cap \{|S_{n}|>s\}).}$

Otrzymujemy więc tezę:

${\displaystyle P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant s)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})\leqslant 2\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}\cap \{|S_{n}|>s\})\leqslant 2P(|S_{n}|\geqslant s)}$