Nierówność Markowa

Nierówność Markowa – nierówność używana w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ o wartości oczekiwanej ${\displaystyle E(X)}$ i dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ oraz ${\displaystyle p>0{:}}$

${\displaystyle P\left(\left|X\right|\geqslant \varepsilon \right)\leqslant {\frac {E(\left|X\right|^{p})}{\varepsilon ^{p}}}.}$

Dowód

Nierówność Markowa wynika bezpośrednio z podstawienia w nierówności Czebyszewa ${\displaystyle {\left|{X}\right|}^{p}}$ zamiast ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle \varepsilon ^{p}}$ zamiast ${\displaystyle \varepsilon ,}$ której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej artykule.

Jest tak, ponieważ dla ${\displaystyle p>0}$ zachodzi ${\displaystyle {\left|{X}\right|}^{p}\geqslant \varepsilon ^{p}\iff X\geqslant \varepsilon }$ (w założeniach nierówności Czebyszewa było ${\displaystyle X\geqslant 0}$).

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa
• nierówność Czebyszewa-Bienayme
• wykładnicza nierówność Czebyszewa