Nierówność między średnimi potęgowymi

Nierówność między średnimi potęgowymi (nierówność między średnimi uogólnionymi) – jedna z klasycznych nierówności mówiąca o własnościach średniej potęgowej. Jest ona uogólnieniem nierówności Cauchy’ego między średnimi, sama zaś jest uogólniana przez nierówność Muirheada.

Definicja i twierdzenie

Tę sekcję należy dopracować: Dokładne sprawdzenie przypadku ${\displaystyle xi=0.}$ Może rozszerzenie twierdzenia i dowodu na ${\displaystyle xi\geqslant 0}$ przez przyjęcie ${\displaystyle p\leqslant 0,xi=0,\mu p=0}$ (z granicy x→0)?. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.

Średnią potęgową rzędu ${\displaystyle p}$ liczb ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ definiuje się jako:

• ${\displaystyle \mu _{p}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\dots +x_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}}$ dla ${\displaystyle p\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\},}$
• ${\displaystyle \mu _{0}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \dots \cdot x_{n}}},}$
• ${\displaystyle \mu _{-\infty }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$
• ${\displaystyle \mu _{+\infty }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

Przykładowo, dla ${\displaystyle p=1}$ otrzymujemy średnią arytmetyczną, dla ${\displaystyle p=0}$ średnią geometryczną, dla ${\displaystyle p=-1}$ średnią harmoniczną, dla ${\displaystyle p=2}$ średnią kwadratową.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle -\infty \leqslant p<q\leqslant +\infty }$ i niech dane będzie ${\displaystyle n}$ liczb ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}>0}$ (jeśli ograniczamy się do rzędów ${\displaystyle p,q>0,}$ można przyjąć ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geqslant 0}$).

Wówczas średnia potęgowa rzędu ${\displaystyle p}$ liczb ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ jest nie większa od ich średniej potęgowej rzędu ${\displaystyle q,}$ czyli

${\displaystyle \mu _{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \mu _{q}(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

Ponadto równość w powyższym wyrażeniu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ są wszystkie równe.

Wniosek

Dla dowolnych liczb dodatnich ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ funkcja

${\displaystyle \mathbb {R} \ni t\mapsto \mu _{t}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} }$

jest funkcją niemalejącą. Więcej: można pokazać, że jest stała lub ściśle rosnąca.

Przykład

Udowodnimy korzystając z powyższej nierówności, że

jeśli ${\displaystyle a,b,c>0}$ oraz ${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=81,}$ to ${\displaystyle a+b+c\leqslant 9.}$

W tym celu zauważmy, że na mocy nierówności między średnimi potęgowymi rzędów 1 oraz 3 mamy

${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}\leqslant \left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{27}}=3,}$

co jest równoważne nierówności, którą mieliśmy udowodnić.

Dowód

Na potrzeby wszystkich dowodów dla uproszczenia zakładamy, że wagi ${\displaystyle w_{i}}$ spełniają warunki:

${\displaystyle w_{i}\in (0;1]}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1}$

Średnia geometryczna

Dla dowolnego ${\displaystyle q}$ nierówność między średnią rzędu ${\displaystyle q}$ i średnią geometryczną możemy przekształcić w następujący sposób:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$

(pierwsza nierówność jest prawdziwa dla ${\displaystyle q>0,}$ druga w przeciwnym wypadku)

podnosimy obustronnie do potęgi ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

i w obu przypadkach otrzymujemy nierówność między ważoną średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu ${\displaystyle x_{i}^{q},}$ którą możemy udowodnić przy użyciu nierówności Jensena, korzystając z wklęsłości funkcji logarytmicznej:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leqslant \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}$

${\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}$

Po złożeniu obu stron nierówności z (rosnącą) funkcją wykładniczą ${\displaystyle x\to e^{x}}$ uzyskuje się żądaną nierówność:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$

Stąd dla dowolnego dodatniego ${\displaystyle q}$ zachodzi:

${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

tym samym udowodniliśmy nierówność między dowolną średnią potęgową a średnią geometryczną.

Średnia geometryczna jako granica

Możemy ponadto udowodnić, że średnia geometryczna jest granicą średnich potęgowych dla rzędu dążącego do zera. W pierwszej kolejności udowodnimy granicę:

${\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}$

Granice licznika i mianownika są, odpowiednio, równe 0, więc z reguły de l’Hospitala wynika, iż:

${\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)'=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\cdot \lim _{p\to 0}\sum _{i=1}^{n}(w_{i}\cdot \log(x_{i})\cdot x_{i}^{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}$

Następnie korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

${\displaystyle \lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$

co kończy dowód.

Nierówność między dowolnymi średnimi potęgowymi

Chcemy udowodnić, że dla dowolnych ${\displaystyle p<q}$ zachodzi:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

w przypadku kiedy ${\displaystyle p}$ jest ujemne, a ${\displaystyle q}$ dodatnie, nierówność jest równoważna nierówności udowodnionej wcześniej:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

Udowodnijmy zatem nierówność dla dodatnich ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q.}$

Weźmy funkcję ${\displaystyle f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},}$ ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}.}$ Oczywiście ${\displaystyle f}$ jest rosnąca, bo ${\displaystyle q}$/${\displaystyle p}$ jest dodatnie. Jest to funkcja potęgowa, ma zatem drugą pochodną: ${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},}$ która jest zawsze dodatnia, bo ${\displaystyle q}$ > ${\displaystyle p,}$ z czego wynika wypukłość ${\displaystyle f.}$

Z nierówności Jensena uzyskujemy wobec tego:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})}$

${\displaystyle {\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

po wyciągnięciu obustronnie pierwiastka ${\displaystyle q}$-tego stopnia (funkcja rosnąca, bo ${\displaystyle q}$ > 0) uzyskujemy żądaną nierówność dla dodatnich ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

Jeśli rozważamy rzędy ${\displaystyle p,q}$ ujemne, wówczas ${\displaystyle x_{i}>0,}$ więc można podstawiając ${\displaystyle x_{i}:={\tfrac {1}{x_{i}}}}$ bez straty ogólności uzyskać:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$

Podnosimy obustronnie do potęgi -1 (funkcja malejąca):

${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geqslant {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$

A zatem dowiedliśmy nierówności także dla ujemnych ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ co kończy dowód.

Minimum i maksimum

Minimum i maksimum przyjmuje się za średnie potęgowe rzędów ${\displaystyle \pm \infty .}$ Wynika to z faktu, że są to odpowiednie granice średnich potęgowych, dowód jest następujący:

Niech ${\displaystyle x_{1}}$ będzie największym, a ${\displaystyle x_{n}}$ najmniejszym z ${\displaystyle x_{i}.}$ Na początek korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach udowodnimy granicę:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=0}$

Wystarczy zauważyć nierówności dla dodatnich ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{1})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{1}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}$

Następnie korzystając z udowodnionej granicy:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(x_{1}^{p}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\left(\ln(x_{1}^{p})+\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=}$

${\displaystyle =\lim _{p\to \infty }\left({\frac {\ln(x_{1}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{1})+0=\ln(x_{1})}$

Stąd korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{1}}$

Analogicznie dla ujemnych ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=0}$

bo (wciąż dla ${\displaystyle p<0}$):

${\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{n})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{n}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}$

Stąd:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {\ln(x_{n}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{n})}$

I w końcu analogicznie:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{n}}$

Zobacz też

• nierówności między średnimi
• nierówność Muirheada