Nieskończenie duże

Nieskończenie duże – podzbiór ciała uporządkowanego ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:=(\mathbb {F} ,+,\cdot ,0,1,<)}$ zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są większe od dowolnej liczby „naturalnej” tego ciała (czyli liczby powstałej z sumowania elementu neutralnego działania multyplikatywnego ciała ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$), czyli zbiór:

${\displaystyle \Psi :=\{x\in \mathbb {F} :\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|>n\}.}$

Ponieważ w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy oraz istnieją liczby „naturalne” (w sensie opisanym powyżej), to da się również zdefiniować zbiór liczb nieskończenie dużych ${\displaystyle \Psi .}$

Ciało liczb rzeczywistych

W ciele liczb rzeczywistych ${\displaystyle {\mathfrak {R}}:=(\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<),}$ jak i w każdym ciele archimedesowym, nie istnieją liczby nieskończenie duże, tzn. ${\displaystyle \Psi =\emptyset }$^[1].

Ciało liczb hiperrzeczywistych

W ciele liczb hiperrzeczywistych ${\displaystyle {\mathfrak {R}}^{*}:=(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )}$ zbiór liczb nieskończenie dużych to

${\displaystyle \Psi :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\succ n^{*}\}}$^[2].

Hiperrzeczywistych liczb nieskończenie dużych jest nieskończenie wiele, do zbioru ${\displaystyle \Psi }$ należy np. liczba ${\displaystyle [(n)_{n=1}^{\infty }]}$^[3], a liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała^[4].

Przypisy