Norma operatorowa

Norma operatorowanorma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli i są przestrzeniami unormowanymi, to wzór

określa normę w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych określonych na i wartościach w

Zachodzą ponadto następujące równości

przy czym ostatnie dwie mają sens w przypadku, gdy ma co najmniej jeden wymiar.

Zupełność przestrzeni operatorów

Przestrzeń jest przestrzenią Banacha, gdy jest przestrzenią Banacha[1].

Dowód. Niech będzie ciągiem Cauchy’ego w W szczególności, jest ciągiem Cauchy’ego dla każdego elementu przestrzeni ponieważ
Używając zupełności możemy zdefiniować przyporządkowanie wzorem
W szczególności jest operatorem liniowym, który jest punktową granicą ciągu operatorów liniowych. Ponadto,
z uwagi na to, że ciągi Cauchy’ego są ograniczone. Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że operator jest ograniczony. Dla danej liczby istnieje takie że dla zachodzi
W szczególności
dla elementów z przestrzeni dla których oraz Ostatecznie także w tym przypadku
co pokazuje, że ciąg jest zbieżny do

Przypisy

  1. Megginson 1998 ↓, s. 27–28.

Bibliografia

  • John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.