Notacja Diraca

Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca^[1] do mechaniki kwantowej, sposób zapisywania działania form liniowych na stany kwantowe.

• tzw. ket, zapisywany „${\displaystyle |v\rangle }$”, oznacza wektor ${\displaystyle v}$ w zespolonej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ (zwykle przestrzeni Hilberta); fizyczna interpretacja to stan kwantowy pewnego układu.

• tzw. bra, zapisywane „${\displaystyle \langle f|}$”, oznacza funkcjonał liniowy ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {C} }$ na przestrzeni (gdy ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią Hilberta, zapis ten oznacza zwykle ciągły funkcjonał liniowy).

Działanie funkcjonału ${\displaystyle \langle f|}$ na wektorze ${\displaystyle |v\rangle }$ zapisywane jest jako ${\displaystyle \langle f|v\rangle .}$

Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle .}$ Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym ${\displaystyle [\phi |\psi ]}$ prawie 100 lat wcześniej.

Przestrzeń wektorowa

Wstęp

Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy: ${\displaystyle {\vec {A}}\in V={\mathcal {L}}(\mathbb {R} )\ :\ \dim V=3.}$

Wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}=A_{1}{\vec {e}}_{1}+A_{2}{\vec {e}}_{2}+A_{3}{\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

gdzie wektory ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$ są liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$ to odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (gdzie ${\displaystyle \mathbb {F} }$ to np. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub ${\displaystyle \mathbb {C} }$), wektor ${\displaystyle {\vec {A}}}$ jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:

${\displaystyle {\vec {A}}=\sum _{n=1}^{N}A_{n}{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.}$

Jednak ${\displaystyle {\vec {A}}}$ może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń ${\displaystyle L_{2}}$.

Notacja ket

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: ${\displaystyle |A\rangle .}$ Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

${\displaystyle |A\rangle =A_{1}|e_{1}\rangle +A_{2}|e_{2}\rangle +A_{3}|e_{3}\rangle ={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},}$

co można zapisać w skrócie

${\displaystyle |A\rangle =A_{1}|1\rangle +A_{2}|2\rangle +A_{3}|3\rangle ,}$

gdzie ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle }$ oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}.}$

Iloczyn skalarny i notacja ket

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

${\displaystyle \langle A|B\rangle ={\text{iloczyn skalarny bra }}\langle A|{\text{ z ket }}|B\rangle .}$

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń ${\displaystyle \{|\psi \rangle \}}$)

${\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+A_{3}^{*}B_{3},}$

gdzie ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy ${\displaystyle {\vec {A}}={\vec {B}},}$ iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

${\displaystyle \langle A|A\rangle =|A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+|A_{3}|^{2}.}$

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”

${\displaystyle \langle A|B\rangle =\left(\,\langle A|\,\right)\,\,\left(\,|B\rangle \,\right),}$

gdzie ${\displaystyle \langle A|}$ nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a ${\displaystyle |B\rangle }$ to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Bra i kety jako macierze

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

${\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}.}$

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

${\displaystyle \langle A|={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}.}$

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:

${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|,}$

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}},}$

otrzyma się:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.}$

Bra jako operator liniowy na ket

Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.

Zastosowanie w mechanice kwantowej

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:

• Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie ${\displaystyle |\psi \rangle }$”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c ${\displaystyle |\psi \rangle }$ odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c).
• Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu ${\displaystyle |1\rangle +i|2\rangle }$ jest superpozycją stanów ${\displaystyle |1\rangle }$ i ${\displaystyle |2\rangle .}$
• Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych.
• Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.

Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:

Oznaczenia w notacji Diraca

• wektory bazowe oznacza się: ${\displaystyle |n\rangle ,}$ gdzie ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$
• wektory bazowe sprzężone hermitowsko: ${\displaystyle (|n\rangle )^{+}=\langle n|}$ oraz ${\displaystyle (\langle n|)^{+}=|n\rangle ,}$
• iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej ${\displaystyle {\hat {S}}^{+}=(|0\rangle ,|1\rangle )^{+}}$ i wektorów z bazy ${\displaystyle {\hat {S}}=(|0\rangle ,|1\rangle ){:}}$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle =\langle 1|1\rangle =1,}$

${\displaystyle \langle 0|1\rangle =\langle 1|0\rangle =0,}$

• iloczyn tensorowy wektorów bazowych:

${\displaystyle |m\rangle |n\rangle =|mn\rangle ,}$

${\displaystyle |m\rangle \langle n|,}$

• iloczyn zewnętrzny wektorów bazowych:

${\displaystyle |m\rangle \wedge |n\rangle =-|n\rangle \wedge |m\rangle ,}$

${\displaystyle \langle m|\wedge \langle n|=-\langle n|\wedge \langle m|,}$

• sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:

${\displaystyle (|mn\rangle )^{+}=\langle mn|=\langle n|\langle m|,}$

${\displaystyle (|m\rangle \langle n|)^{+}=|n\rangle \langle m|,}$

• wektor o współrzędnych ${\displaystyle (v_{0},v_{1})}$ zapisany w bazie ${\displaystyle {\hat {S}}^{+}=(|0\rangle ,|1\rangle )^{+}{:}}$

${\displaystyle \langle v|=v_{0}\langle 0|+v_{1}\langle 1|,}$

• Inne wektory bazowe można oznaczyć ${\displaystyle |n'\rangle ,}$ na przykład:

${\displaystyle |0'\rangle =|0\rangle ,}$

${\displaystyle |1'\rangle =|0\rangle +q|1\rangle ,}$

${\displaystyle \langle 0'|=\langle 0|,}$

${\displaystyle \langle 1'|=\langle 0|+q^{*}\langle 1|,}$

• Operatory (macierze) oznacza się ${\displaystyle {\hat {A}},}$ na przykład operator jednostkowy:

${\displaystyle {\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|,}$

• Operator rzutowy ${\displaystyle {\hat {P}}{:}}$

${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)=|0\rangle \langle 0|.}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Notacja Diraca
• J.H. Przytycki, Płaszczyzna kwantowa i q-wielomian drzew z korzeniem, arxiv.org/1512.03080.

Mechanika kwantowa

• Wprowadzenie
• Aparat matematyczny
• Równanie Schrödingera

Tło	Mechanika klasyczna Mechanika kwantowa Ciało doskonale czarne Wczesna teoria kwantowa Interferencja Notacja Diraca Hamiltonian
Koncepcje podstawowe	Funkcja falowa Stan kwantowy Stan podstawowy Stan stacjonarny Równanie własne Cząstka w pudle potencjału Cząstki identyczne Kwantowy oscylator harmoniczny Spin Superpozycja Liczby kwantowe Splątanie kwantowe Pomiar Nieoznaczoność Reguła Pauliego Dualizm korpuskularno-falowy Dekoherencja kwantowa Twierdzenie Ehrenfesta Tunelowanie
Doświadczenia	Doświadczenie Younga Doświadczenie Davissona i Germera Doświadczenie Francka-Hertza Doświadczenie Sterna-Gerlacha Eksperymenty testujące twierdzenie Bella Doświadczenie Poppera Kot Schrödingera Problem testowania bomb Elitzura-Vaidmana Gumka kwantowa
Sformułowania	Obraz Schrödingera Obraz Heisenberga Obraz Diraca Mechanika macierzowa Suma po historiach
Równania	Równanie Schrödingera Równanie Pauliego Równanie Kleina-Gordona Równanie Diraca Wzór Rydberga
Interpretacje	de Broglie'a-Bohma Świadomość wywołuje kolaps Spójne historie kwantowe Kopenhaska Statystyczna Zmiennych ukrytych Wielu światów Logika kwantowa Obiektywnego zalamania Prawdopodobieństwo kwantowe Relacyjna Stochastyczna Transakcjonalna
Zagadnienia zaawansowane	Informatyka kwantowa Teoria rozpraszania Kwantowa teoria pola Operatory kreacji i anihilacji Chaos kwantowy
Znani uczeni	Planck Bohr Sommerfeld Bose Kramers Heisenberg Born Jordan Pauli Dirac de Broglie Schrödinger von Neumann Wigner Feynman Candlin Bohm Everett Bell Wien

(c) Voyajer z angielskojęzycznej Wikipedii, CC-BY-SA-3.0

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$