Notacja wielowskaźnikowa

Notacja wielowskaźnikowa – notacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowa

Wielowskaźnik ${\displaystyle n}$-wymiarowy to wektor

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ oraz ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ określa się:

• sumę i różnicę (po współrzędnych),

  ${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n});}$

• porządek częściowy,

  ${\displaystyle \alpha \leqslant \beta \iff \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\qquad \forall _{i\in \{1,\ldots ,n\}};}$

• sumę współrzędnych (wartość bezwzględną),

  ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n};}$

• silnię,

  ${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

• symbol Newtona,

  ${\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}};}$

• potęgę,

  ${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}};}$

• pochodną cząstkową wyższych rzędów,

  ${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$ gdzie ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:={\tfrac {\partial ^{\alpha _{i}}}{\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}}.}$

Niektóre zastosowania

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}~x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}~{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }}$

Wzór Leibniza

Dla funkcji gładkich ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$

Szereg Taylora

Dla funkcji analitycznej ${\displaystyle f}$ o ${\displaystyle n}$ zmiennych jest

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leqslant n}~{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się

${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}~{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int \limits _{0}^{1}~{(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt}.}$

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci

Operator różniczki cząstkowej ${\displaystyle n}$-tego rzędu ${\displaystyle n}$ zmiennych zapisuje się formalnie jako

${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leqslant N}~{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$

Całkowanie przez części

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ jest

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }~{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{\Omega }~{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ są wielowskaźnikami, a ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$ to

${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}}$

Dowód

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{0,1,2,\ldots \},}$ wtedy

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}\qquad (1)}$

Załóżmy, że ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}),}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$ Wtedy

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$

Dla każdego ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\},}$ funkcja ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$ zależy wyłącznie od ${\displaystyle x_{i}.}$ Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx_{i}}}.}$ Stąd z równania (1) wynika, że ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$ znika, jeśli ${\displaystyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$ dla przynajmniej jednego ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}.}$ W przeciwnym wypadku, tzn. gdy ${\displaystyle \alpha \leqslant \beta }$ jako wielowskaźniki, wtedy

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$

dla każdego ${\displaystyle i,}$ skąd wynika twierdzenie.

Bibliografia

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1. CRC Press. ​ISBN 0-8493-7158-9​.