Objętość (matematyka)

Objętośćmiara 3-wymiarowej przestrzeni.

Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

  • Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach
  • Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach itd. uzyskamy ciąg liczb Objętością nazywamy granicę:

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

oraz

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem a płaszczyzną w obszarze jest równe całce podwójnej

Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

Zobacz też