Obraz i przeciwobraz

Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny^[1].

Przeciwobraz to zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny^[2].

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru ${\displaystyle X}$ w zbiór ${\displaystyle Y.}$

Obraz elementu

Jeżeli ${\displaystyle x}$ jest elementem ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle f(x)=y,}$ czyli wartość funkcji ${\displaystyle f}$ na elemencie ${\displaystyle x,}$ nazywa się obrazem ${\displaystyle x}$ poprzez ${\displaystyle f.}$

Obraz zbioru

Obrazem zbioru ${\displaystyle A\subseteq X}$ w funkcji ${\displaystyle f}$ nazywa się podzbiór ${\displaystyle f[A]\subseteq Y}$ wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór

${\displaystyle \left\{y\in Y\colon f(x)=y{\text{ dla pewnego }}x\in A\right\}=\left\{f(x)\in Y\colon x\in A\right\}.}$

Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast ${\displaystyle f[A]}$ pisze się ${\displaystyle f(A).}$ Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez ${\displaystyle f}$ jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru ${\displaystyle X,}$ a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru ${\displaystyle Y.}$

Obraz funkcji

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.

Obraz ${\displaystyle f[X]}$ całej dziedziny ${\displaystyle X}$ nazywa się zwykle obrazem funkcji ${\displaystyle f.}$ Do innych oznaczeń należą również ${\displaystyle f(X)}$ (j.w.), ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ (ang. image – obraz).

Przeciwobraz

Przeciwobrazem zbioru ${\displaystyle B\subseteq Y}$ względem ${\displaystyle f}$ nazywa się podzbiór zbioru ${\displaystyle X}$ określony wzorem

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\colon f(x)\in B\}.}$

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem ${\displaystyle f^{-1}[\scriptstyle \{y\}]}$ lub ${\displaystyle f^{-1}[y],}$ nazywa się włóknem nad ${\displaystyle y}$ lub poziomicą lub warstwicą ${\displaystyle y.}$

Zbiór wszystkich włókien nad elementami ${\displaystyle Y}$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez ${\displaystyle Y.}$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ można oznaczać symbolem ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ i myśleć o ${\displaystyle f^{-1}}$ jako o funkcji ze zbioru potęgowego ${\displaystyle Y}$ w zbiór potęgowy ${\displaystyle X.}$ Oznaczenie ${\displaystyle f^{-1}}$ może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f}$ jest bijekcją.

Notacja

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą^[3] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa

${\displaystyle f^{\to }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$ gdzie ${\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\colon a\in A\},}$

${\displaystyle f^{\leftarrow }\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X),}$ gdzie ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\}.}$

Notacja gwiazdkowa

${\displaystyle f_{\star }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$ zamiast ${\displaystyle f^{\to },}$

${\displaystyle f^{\star }\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$ zamiast ${\displaystyle f^{\leftarrow }.}$

Inne

Alternatywną notacją ${\displaystyle f[A]}$ wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest ${\displaystyle f''A.}$

W niektórych pracach obraz ${\displaystyle f}$ nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji ${\displaystyle f}$ postaci ${\displaystyle \operatorname {rg} (f)}$ bądź ${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$ (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

Przykłady

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania ${\displaystyle \Psi _{M}.}$

Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego.

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.

• ${\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ określona wzorem ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a&{\text{dla }}x=1,2\\c&{\text{dla }}x=3.\end{cases}}}$

  Obrazem zbioru ${\displaystyle \{2,3\}}$ poprzez ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle f[\{2,3\}]=\{a,c\}.}$ Obrazem funkcji jest ${\displaystyle \{a,c\}.}$ Przeciwobrazem ${\displaystyle a}$ jest ${\displaystyle f^{-1}[a]=\{1,2\}.}$ Przeciwobrazem ${\displaystyle \{a,b\}}$ również jest ${\displaystyle \{1,2\}.}$ Przeciwobrazem ${\displaystyle \{b,d\}}$ jest zbiór pusty ${\displaystyle \{\}.}$

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$

  Obrazem ${\displaystyle \{-2,3\}}$ w ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle f[\{-2,3\}]=\{4,9\},}$ a obrazem ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$ Przeciwobraz ${\displaystyle \{4,9\}}$ w ${\displaystyle f}$ to ${\displaystyle f^{-1}[\{4,9\}]=\{-3,-2,2,3\}.}$ Przeciwobrazem zbioru ${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} \colon n<0\}}$ w ${\displaystyle f}$ jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$

  Włóknami (poziomicami) ${\displaystyle f^{-1}[a]}$ są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru ${\displaystyle a,}$ odpowiednio: ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle a=0}$ oraz ${\displaystyle a<0.}$

• Jeżeli ${\displaystyle M}$ jest rozmaitością, a ${\displaystyle \pi \colon \operatorname {T} M\to M}$ jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej ${\displaystyle \operatorname {T} M}$ na ${\displaystyle M,}$ to przestrzenie styczne ${\displaystyle \operatorname {T} _{x}(M)}$ dla ${\displaystyle x\in M.}$ Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności

Niech dana będzie funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Y.}$ Dla wszystkich podzbiorów ${\displaystyle A,A_{1},A_{2}\subseteq X}$ oraz ${\displaystyle B,B_{1},B_{2}\subseteq Y}$ zachodzą następujące własności:

• obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny,

  ${\displaystyle f[A]\subseteq Y}$ oraz ${\displaystyle f^{-1}[B]\subseteq X;}$

• działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:

  ${\displaystyle f[f^{-1}[B]]\subseteq B}$ (równość dla funkcji „na”),

  ${\displaystyle f^{-1}[f[A]]\supseteq A}$ (równość dla funkcji różnowartościowej),

  ${\displaystyle f[A]\subseteq B\Leftrightarrow A\subseteq f^{-1}[B];}$

• operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn.

  ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left[A_{1}\right]\subseteq f\left[A_{2}\right]}$ oraz

  ${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}\left[B_{1}\right]\subseteq f^{-1}\left[B_{2}\right];}$

• prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:

  ${\displaystyle f[A\cup B]=f[A]\cup f[B],}$

  ${\displaystyle f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]}$ (jeśli funkcja jest różnowartościowa, to jest równość),

  ${\displaystyle f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B],}$

  ${\displaystyle f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B];}$

• zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:

  ${\displaystyle f^{-1}\left[B^{\operatorname {c} }\right]=(f^{-1}[B])^{\operatorname {c} },}$

• z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:

  ${\displaystyle f\left[A\setminus B\right]\supseteq f[A]\setminus f[B],}$

  ${\displaystyle f^{-1}\left[A\setminus B\right]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B],}$

• istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:

  ${\displaystyle (f|_{A})^{-1}[B]=A\cap f^{-1}[B].}$

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle (B_{j})_{j\in J}}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów ${\displaystyle Y.}$ Wówczas

• ${\displaystyle f\left[\bigcup A_{i}\right]=\bigcup f\left[A_{i}\right],}$
• ${\displaystyle f\left[\bigcap A_{i}\right]\subseteq \bigcap f\left[A_{i}\right]}$

oraz

• ${\displaystyle f^{-1}\left[\bigcup B_{j}\right]=\bigcup f^{-1}\left[B_{j}\right],}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left[\bigcap B_{j}\right]=\bigcap f^{-1}\left[B_{j}\right].}$

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru ${\displaystyle B\subset Y}$ względem złożenia ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ dwóch funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oraz ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ dany jest wzorem:

• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}[B]=\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)[B].}$

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. ${\displaystyle |f[A]|\leqslant |A|,}$ a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych). Analogicznie jest z przeciwobrazem: ${\displaystyle |f^{-1}[B]|\geqslant |B|}$ i równość zachodzi pod tym samym warunkiem.

Zobacz też

• dziedzina, przeciwdziedzina
• jądro funkcji
• obraz w teorii kategorii

Przypisy

Bibliografia

• Thomas ScottT.S. Blyth Thomas ScottT.S., Lattices and Ordered Algebraic Structures, London: Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5, OCLC 262677746 .

Literatura dodatkowa

• Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991. ISBN 81-203-0871-9.
• Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Fibre na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.