Obszar (matematyka)

Od lewej: obszar jednospójny, obszar trzyspójny, obszar czterospójny

Obszar – zbiór otwarty i spójny w przestrzeni euklidesowej^[1] lub ogólniej w przestrzeni topologicznej^[2]. Obszar domknięty to domknięcie ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}}$ obszaru (otwartego) ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$^[3].

Zbiór domknięty ${\displaystyle \mathrm {Fr} \,{\mathfrak {O}}={\overline {\mathfrak {O}}}\setminus {\mathfrak {O}}}$ nazywa się brzegiem obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {O}}.}$ Punkty ${\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}}$ nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {O}},}$ a także punktami wewnętrznymi obszaru domkniętego ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}.}$ Punkty ${\displaystyle X\in \mathrm {Fr} \,{\mathfrak {O}}}$ nazywane są punktami brzegowymi obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {O}},}$ a także punktami brzegowymi obszaru domkniętego ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}}$^[4].

Pojęcia te mają podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana.

Obszar ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset \mathbb {C} }$ nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ ściągalna do punktu)^[5]. Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Ogólniej, brzeg obszaru może mieć ${\displaystyle k}$ składowych, gdzie ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty .}$ Jeśli ${\displaystyle k>1,}$ to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba ${\displaystyle k}$ jest nazywana rzędem spójności. Jeśli ${\displaystyle k=2,}$ obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli ${\displaystyle k=3}$ – obszarem trzyspójnym itd. Jeśli ${\displaystyle k<\infty ,}$ to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli ${\displaystyle k=\infty }$ – obszarem nieskończeniespójnym^[5].

Przykłady

Przykład obszaru, którego brzeg zawiera punkty niedostępne

• Na prostej ${\displaystyle \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{1}}$ obszarami są przedziały liczbowe. Brzeg takiego obszaru jest zawsze zbiorem co najwyżej dwupunktowym^[5].
• Obszar nieskończeniespójny można uzyskać, usuwając z koła otwartego o promieniu 2 rozłączne koła domknięte o promieniach ${\displaystyle 1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4^{2}}},\dots ,{\frac {1}{4^{n}}},\dots }$ Brzeg tego obszaru jest sumą mnogościową okręgu koła o promieniu 2 i okręgów ograniczających usunięte koła.
• Obszar jednospójny ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ może mieć dość skomplikowany brzeg, zawierający punkty niedostępne w następującym sensie: nie istnieje krzywa ciągła ${\displaystyle f\colon \langle a;b\rangle \rightarrow {\overline {\mathfrak {O}}},}$ gdzie ${\displaystyle \langle a;b\rangle }$ jest przedziałem domkniętym na osi rzeczywistej, taka że obrazy wszystkich punktów przedziału, poza punktem ${\displaystyle X=f(b)}$ (należącym do brzegu ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$), należą do obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {O}}.}$ Takimi punktami będą na przykład punkty prawego boku kwadratu na rysunku obok, z którego usunięto odcinki wychodzące prostopadle naprzemiennie z dolnego i górnego boku tego kwadratu, zbliżające się do prawego boku i o długościach dążących do długości boku kwadratu^[6].
• Każde dwa punkty obszaru położonego w płaszczyźnie zespolonej dają się połączyć łamaną.

Niech będzie obszarem. Dla każdego ${\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}}$ niech ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{X}}$ będzie zbiorem tych punktów obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {O}},}$ które dadzą się połączyć z ${\displaystyle X}$ łamaną. Dla każdego ${\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}}$ zbiór ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{X}}$ jest zbiorem otwartym, bo jeśli ${\displaystyle A\in {\mathfrak {F}}_{X},}$ to z punktem ${\displaystyle X}$ można połączyć łamaną każdy punkt kuli ${\displaystyle k(A,r)\subset {\mathfrak {O}}.}$ Z drugiej strony zbiór:

${\displaystyle {\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}=\bigcup _{Y\in {\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}}{\mathfrak {F}}_{Y}}$

jest również zbiorem otwartym, a zatem ze względu na spójność zbioru ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ zbiór ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}=\varnothing ,}$ czyli ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{X}={\mathfrak {O}}}$^[7].

• Własność ta jest spełniona dla obszarów w przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geqslant 1}$ oraz dla obszarów przestrzeni zespolonej ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},n\geqslant 1,}$ przy czym istnieje wtedy łamana łącząca dwa punkty obszaru składająca się ze skończonej liczby odcinków^[5].
• Powyższa własność jest również spełniona dla obszaru każdej topologicznej przestrzeni wektorowej.
• Każdy zbiór otwarty ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset \mathbb {C} }$ jest sumą obszarów, bo:

${\displaystyle {\mathfrak {O}}=\bigcup _{X\in {\mathfrak {O}}}{\mathfrak {F}}_{X}.}$

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Domain, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].