Odejmowanie

Odejmowanie – jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

Odejmowanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem minusa. Znak ten zbliżony jest do półpauzy, krótszy od pauzy (oba służą oznaczaniu myślnika), a dłuższy od dywizu (łącznika).

Odejmowanie liczb

Najczęściej używane jest odejmowanie liczb, np. ${\displaystyle 3-2=1,}$ co czyta się: „trzy minus dwa równa się jeden” albo „trzy odjąć dwa równa się jeden”.

Odejmowanie pisemne liczb naturalnych

Poniżej podany jest przykład obliczania różnicy dwóch trzycyfrowych liczb: ${\displaystyle 654}$ i ${\displaystyle 273.}$ Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

${\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline {}\end{array}}}$

Cyfrą jedności ${\displaystyle 654}$ jest ${\displaystyle 4;}$ cyfrą jedności ${\displaystyle 273}$ jest ${\displaystyle 3.}$ Obliczamy ${\displaystyle 4-3=1,}$ więc na pozycji jedności pod kreską piszemy ${\displaystyle 1{:}}$

${\displaystyle {\begin{array}{r}&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&&1\end{array}}}$

Cyfrą dziesiątek ${\displaystyle 654}$ jest ${\displaystyle 5;}$ cyfrą dziesiątek ${\displaystyle 273}$ jest ${\displaystyle 7.}$ Ponieważ ${\displaystyle 5<7}$ i wynik wyszedłby ujemny „pożyczamy” ${\displaystyle 1}$ z następnej pozycji. Oznacza to, że teraz dodajemy ${\displaystyle 10,}$ a przy następnej cyfrze odejmiemy ${\displaystyle 1.}$ Mamy zatem ${\displaystyle 15-7=8;}$ piszemy ${\displaystyle 8}$ pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a ${\displaystyle 1}$ pożyczamy z kolumny setek, co można sobie zanotować na boku:

${\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &&8&1\end{array}}}$

Pozostała kolumna setek: odejmujemy ${\displaystyle 6-2-1}$ (ten 1 to „pożyczka”) z trzeciej kolumny, otrzymując ${\displaystyle 3,}$ piszemy ${\displaystyle 3}$ w kolumnie setek pod kreską:

${\displaystyle {\begin{array}{r}&-1\\&6&5&4\\-&2&7&3\\\hline &3&8&1\end{array}}}$

otrzymując wynik ${\displaystyle 654-273=381.}$

W ten sposób odejmuje się zawsze mniejszą liczbę od większej. Jeśli chcemy odjąć większą od mniejszej, zamieniamy je, odejmujemy, a na koniec przed wynikiem stawiamy znak minusa (gdyż wynik będzie wtedy liczbą ujemną). Na przykład chcąc obliczyć ${\displaystyle 23-54,}$ obliczamy ${\displaystyle 54-23=31,}$ a następnie dostawiamy minus otrzymując ${\displaystyle 23-54=(-31).}$

Ten sam algorytm może służyć do odejmowania liczb w dowolnym systemie pozycyjnym.

Odejmowanie liczb całkowitych

Możliwe są cztery przypadki, różniące się znakiem odejmowanych liczb:

• Jeśli obydwie są nieujemne, odejmujemy je tak jak liczby naturalne powyżej. Znak różnicy zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.
• Jeśli obydwie są ujemne (oznaczmy je ${\displaystyle -a}$ i ${\displaystyle -b}$), to wynikiem jest różnica ich wartości bezwzględnych ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ zapisanych w odwrotnej kolejności: ${\displaystyle (-a)-(-b)=b-a.}$ Tu również znak zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.
• Jeśli pierwsza liczba jest nieujemna ${\displaystyle (a)}$ a druga ujemna ${\displaystyle (-b),}$ to odejmowanie sprowadza się do dodawania ich wartości bezwzględnych: ${\displaystyle a-(-b)=a+b.}$
• Jeśli pierwsza liczba jest ujemna ${\displaystyle (-a)}$ a druga nieujemna ${\displaystyle (b),}$ to odejmowanie sprowadza się do dodania ich wartości bezwzględnych i zmiany znaku wyniku: ${\displaystyle -a-b=-(a+b).}$

Zamiast tych reguł wystarczy pamiętać jedną: odjąć liczbę ${\displaystyle b}$ – to znaczy dodać przeciwną do niej liczbę ${\displaystyle -b.}$

Odejmowanie ułamków

Dla liczb wymiernych ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ i ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ odejmowanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

Wówczas można zastosować wzór:

${\displaystyle {\frac {k}{m}}-{\frac {l}{m}}={\frac {k-l}{m}}.}$

Najmniejszym wspólnym mianownikiem, jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników odjemnej i odjemnika.

Przykład:

${\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 3}{4\times 3}}-{\frac {1\times 2}{6\times 2}}={\frac {9}{12}}-{\frac {2}{12}}={\frac {9-2}{12}}={\frac {7}{12}}.}$

Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika najłatwiej wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Odejmowanie sprowadza się wtedy do wzoru:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}-{\frac {cb}{db}}={\frac {ad-cb}{bd}}.}$

Przykład:

${\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 6}{4\times 6}}-{\frac {1\times 4}{6\times 4}}={\frac {3\times 6-1\times 4}{4\times 6}}={\frac {14}{24}}={\frac {7}{12}}.}$

W przypadku odejmowania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć obydwie liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:

${\displaystyle {\begin{array}{r}&1&2,&5&\\-&&5,&8&1\\\hline &&6,&6&9\end{array}}}$

Definicja formalna

Formalnie odejmowanie definiowane jest jako działanie odwrotne do dodawania:

${\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}$

Działanie odejmowania można także zdefiniować osobno dla każdego rodzaju liczb:

• odejmowanie dwóch liczb całkowitych ${\displaystyle a-b}$ i ${\displaystyle c-d}$ (gdzie ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} }$) określone jest wzorem

${\displaystyle (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);}$

• odejmowanie dwóch liczb wymiernych określone jest wzorem

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}}$ (w ogólności wzór ten jest definicją odejmowania w dowolnym ciele ułamków);

• odejmowanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli ${\displaystyle a_{n}}$ jest ciągiem Cauchy’ego zbieżnym do ${\displaystyle A,}$ a ${\displaystyle b_{n}}$ jest zbieżnym do ${\displaystyle B}$ to ciąg ${\displaystyle c_{n}=a_{n}-b_{n}}$ jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do ${\displaystyle C=A-B;}$
• odejmowanie dwóch liczb zespolonych określone jest wzorem

${\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;}$

• odejmowanie dwóch kwaternionów określone jest wzorem

${\displaystyle (a+bi+cj+dk)-(p+qi+rj+sk)=(a-p)+(b-q)i+(c-r)j+(d-s)k.}$

Własności różnicy wynikające z własności odjemnej i odjemnika

Odjemna	Odjemnik	Różnica
parzysta	parzysty	parzysta
nieparzysta	nieparzysty	parzysta
parzysta	nieparzysty	nieparzysta
naturalna	naturalny	całkowita
całkowita	całkowity	całkowita
całkowita	niecałkowity	niecałkowita
wymierna	wymierny	wymierna
wymierna	niewymierny	niewymierna
większa	mniejszy	dodatnia
mniejsza	większy	ujemna
algebraiczna	algebraiczny	algebraiczna
algebraiczna	przestępny	przestępna
rzeczywista	rzeczywisty	rzeczywista
zespolona	zespolony	zespolona

Kolejność wykonywania działań

Odejmowanie wykonujemy od lewej do prawej:

${\displaystyle a-b-c-d=((a-b)-c)-d.}$

Kolejność wykonywania odejmowania ma znaczenie (odejmowanie nie jest łączne):

${\displaystyle (4-3)-2=1-2=-1,}$

ale

${\displaystyle 4-(3-2)=4-1=3.}$

Odejmowanie nie jest również przemienne, zamiana argumentów zmienia znak różnicy:

${\displaystyle 10-4=6,}$

ale

${\displaystyle 4-10=-6.}$

Różnica funkcji

Różnicę funkcji ${\displaystyle f,g\colon X\to Y,}$ gdzie ${\displaystyle Y}$ jest pewnym zbiorem ze dodawaniem jako działaniem wewnętrznym (czyli grupą czy, w szczególności, przestrzenią liniową) definiuje się jako

${\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in X.}$

Przykłady użycia:

• Traktując macierze jako funkcje można określić w ten sposób działanie odejmowania macierzy. Aby odjąć dwie macierze wystarczy odjąć ich elementy.
• Traktując ciągi jako funkcje można określić odejmowanie ciągów.
• Traktując wielomiany (właściwie funkcje wielomianowe) jako funkcje rzeczywiste ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ otrzymujemy analogiczną definicję odejmowania, używaną w analizie matematycznej.
• Traktując wielomiany jako ciągi współczynników (np. zapisując ${\displaystyle 3x^{2}+x+5}$ jako ${\displaystyle (5,1,3,0,0,\dots )}$) otrzymuje się definicję różnicy wielomianów używaną w algebrze abstrakcyjnej; aby odjąć dwa wielomiany należy odjąć ich współczynniki. Definicję tę rozszerza się w oczywisty sposób na pierścień szeregów formalnych.

Odejmowanie modulo

Działanie odejmowania można określić w pierścieniu Z_n.

Odejmowanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia różnicy liczb przez ${\displaystyle n.}$ Przykład: w algebrze ${\displaystyle Z_{5}}$ zachodzi:

${\displaystyle 0-1\equiv 4\ {\pmod {5}},}$

${\displaystyle 4-1\equiv 3\ {\pmod {5}},}$

${\displaystyle 4-4\equiv 0\ {\pmod {5}}.}$

Odejmowanie wektorów

Odejmowanie wektorów polega na odejmowaniu ich współrzędnych. Można też sprowadzić odejmowanie wektora do dodawania wektora o przeciwnym zwrocie. Wówczas takie dwa wektory można dodawać algebraicznie lub geometrycznie (używając reguły trójkąta lub reguły równoległoboku)

Gdy ${\displaystyle a}$ jest punktem oraz ${\displaystyle b}$ jest wektorem to różnicę ${\displaystyle a-b}$ należy rozumieć jako translację punktu ${\displaystyle a}$ o wektor ${\displaystyle -b.}$

Odejmowanie jako działanie w strukturze algebraicznej

Odejmowanie elementów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ jest określane jako działanie odwrotne do dodawania:

${\displaystyle a-b=c\Leftrightarrow a=b+c.}$

Nie zawsze istnieje element ${\displaystyle c}$ o takich właściwościach. Na przykład w zbiorze liczb naturalnych, tworzących z dodawaniem tzw. półgrupę, nie da się odjąć większej liczby od mniejszej. W strukturach algebraicznych zwanych grupami jest to już zawsze możliwe (jeśli to grupa addytywna); tam zawsze ${\displaystyle a-b=a+(-b),}$ gdzie ${\displaystyle -b}$ jest elementem przeciwnym do ${\displaystyle b.}$ Czasem w różnych abstrakcyjnych strukturach, dla odróżnienia od zwykłego odejmowania liczb, stosuje się inny podobny znak, np. ${\displaystyle \ominus .}$

Generalnie w strukturach zwanych pierścieniami odejmowanie nie jest przemienne, łączne, jest jednak rozdzielne względem mnożenia (w przypadku przestrzeni liniowej jest to rozdzielność względem mnożenia wektora przez skalar).

Równości i kongruencje można odejmować stronami:

• jeżeli ${\displaystyle a=b}$ i ${\displaystyle c=d}$ to ${\displaystyle a-c=b-d,}$
• jeżeli ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ i ${\displaystyle c\equiv d{\pmod {n}}}$ to ${\displaystyle a-c\equiv b-d{\pmod {n}}.}$

Zobacz też

• różnica zbiorów – odpowiednik w teorii mnogości (rachunku prawdopodobieństwa i geometrii)