Odwrotna dystrybuanta

Odwrotna dystrybuanta – uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana ${\displaystyle \Phi ^{-1}(p).}$

Jeżeli dystrybuanta ${\displaystyle \Phi (x)}$ jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)=\{x\in \mathbb {R} :p=\Phi (x)\},}$

gdzie ${\displaystyle p\in (0,1).}$

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się, definiując dystrybuantę odwrotną jako:

${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leqslant \Phi (x)\},}$

gdzie ${\displaystyle p\in (0,1).}$

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)}$ jest rosnąca dla ${\displaystyle p\in (0,1),}$

${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)}$ jest lewostronnie ciągła dla ${\displaystyle p\in (0,1),}$

${\displaystyle \Phi ^{-1}(\Phi (x))\leqslant x}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ takiego, że ${\displaystyle \Phi (x)\in (0,1),}$

${\displaystyle p\leqslant \Phi (\Phi ^{-1}(p))}$ dla ${\displaystyle p\in (0,1).}$

Odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego

Szczególne znaczenie ma odwrotna dystrybuanta rozkładu normalnego. Może być ona zapisana za pomocą funkcji specjalnej, zwanej funkcją błędu ${\displaystyle \operatorname {erf} {:}}$

${\displaystyle \Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$

gdzie:

${\displaystyle \mu }$ – wartość oczekiwana rozkładu,

${\displaystyle \sigma ^{2}}$ – wariancja rozkładu.

Zastosowanie

Odwrotną dystrybuantę stosuje się m.in. przy przekształcaniu zmiennych losowych o rozkładzie równomiernym na zmienne losowe o dowolnym innym rozkładzie prawdopodobieństwa^[1], wg wzoru:

${\displaystyle Y=\Phi ^{-1}(X),}$

gdzie:

${\displaystyle Y}$ – zmienna losowa o pożądanym rozkładzie prawdopodobieństwa,

${\displaystyle \Phi }$ – dystrybuanta tego rozkładu,

${\displaystyle X}$ – zmienna losowa o rozkładzie równomiernym w przedziale (0,1).

Przypisy