Odwzorowanie jednokrotne

Ten artykuł od 2013-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Odwzorowanie jednokrotne – rodzaj odwzorowania w analizie zespolonej.

Definicja

Odwzorowanie ${\displaystyle f\colon D\to D'}$ zbioru płaskiego ${\displaystyle D}$ na zbiór płaski ${\displaystyle D'}$ nazywamy:

1. Jednokrotnym (jednolistnym) jeżeli dla ${\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}$ mamy ${\displaystyle f(z_{1})\neq f(z_{2})}$
2. Wielokrotnym (wielolistnym) jeżeli nie jest jednokrotne
3. Ograniczonym jeżeli zbiór ${\displaystyle D'}$ jest ograniczony

Przykłady

Odwzorowania jednokrotne

• Rozważmy funkcję ${\displaystyle w(z)=az+b.}$ Poniższe odwzorowania są jednokrotne:

1. Homotetia o środku ${\displaystyle O,a>0,b=0}$
2. Obrót dokoła punktu ${\displaystyle O}$ o kąt ${\displaystyle \alpha ,}$ gdy ${\displaystyle \arg a=\alpha ,|a|=1,b=0}$
3. Translacja, gdy ${\displaystyle a=1}$

• ${\displaystyle \phi _{a}(z)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ dane wzorem ${\displaystyle \phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}},}$ gdzie ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$

Odwzorowania wielokrotne

• ${\displaystyle w(z)=z^{2}}$
• ${\displaystyle w(z)=|z|}$