Odwzorowanie regularne

Odwzorowanie regularne – rodzaj odwzorowania różniczkowalnego w analizie matematycznej.

Definicja

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz ${\displaystyle D}$ niepustym podzbiorem ${\displaystyle X.}$ Odwzorowanie ${\displaystyle F\colon D\to Y}$ nazywamy regularnym, jeśli

1. ${\displaystyle D}$ jest zbiorem otwartym,
2. ${\displaystyle F}$ jest klasy ${\displaystyle C^{1}}$(tzn. jest ciągła i ma ciągłą pochodną),
3. ${\displaystyle \forall _{x\in D}}$${\displaystyle dF(x)}$ jest ciągłym izomorfizmem liniowym ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y.}$

Twierdzenia

• Jeśli ${\displaystyle X,Y}$ są przestrzeniami Banacha, ${\displaystyle D\subseteq X,}$ a odwzorowanie ${\displaystyle F\colon D\to Y}$ jest regularne, to dla każdego otwartego ${\displaystyle U\subseteq D}$ zbiór ${\displaystyle F(U)}$ jest otwarty.
• Złożenie odwzorowań regularnych jest regularne.
• Każdy dyfeomorfizm jest odwzorowaniem regularnym, lecz nie na odwrót.

Przykład:

Odwzorowanie ${\displaystyle F:(0,\infty )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ określone wzorem ${\displaystyle F(x_{1},x_{2})=(x_{1}\cos x_{2},x_{1}\sin x_{2})}$ jest regularne, ale nie jest dyfeomorfizmem, gdyż nie jest odwracalne (ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych).

Zobacz też

• dyfeomorfizm
• homeomorfizm
• rozmaitość różniczkowa

Bibliografia

• Kołodziej Witold: Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, Warszawa: PWN, 1974.