Operator d’Alemberta
Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.
Operator ten jest oznaczany symbolem „kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie ). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.
Przyjmując sygnaturę metryki czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.
Współrzędne
We współrzędnych operator d’Alemberta ma postać[1][2][3]
gdzie:
- – operator Laplace’a,
- – prędkość światła w próżni.
Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się
Współrzędne
We współrzędnych mamy:
Zapis skrócony
Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.
gdzie:
- – składowe kowariantne 4-gradientu,
- – składowe kontrawariantne 4-gradientu.
Wstawiając współrzędne, otrzyma się
przy czym
Zastosowania
Teoria drgań
Równanie falowe np. dla małych drgań (poziomej) struny
gdzie:
- – przemieszczenie (w pionie) struny od położenia równowagi,
- – współrzędna położenia punktu na strunie,
- – czas.
- – współrzędna położenia punktu na strunie,
Elektrodynamika klasyczna
Równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni
gdzie – czteropotencjał pola elektromagnetycznego.
Elektrodynamika kwantowa
Zobacz też
1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego
- czterogradient
- czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów)
2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
3. Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej
Przypisy
- ↑ Dalambercjan, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-29] .
- ↑ Encyclopedia of Mathematics: D’Alembert operator (ang.). encyclopediaofmath.org. [dostęp 2016-11-12].Sprawdź autora:1.
- ↑ Eric W. Weisstein , d’Alembertian, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2016-11-12] (ang.).
Bibliografia
- David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press 2017.