Ortogonalność

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości^[1] znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)^[2].

Definicja

Elementy ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ przestrzeni unitarnej ${\displaystyle X}$ z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ nazywa się ortogonalnymi, gdy

${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$

Relację ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$ zapisuje się symbolicznie ${\displaystyle x\perp y.}$ Podzbiór ${\displaystyle A}$ przestrzeni unitarnej ${\displaystyle X}$ nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej

Długość wektora ${\displaystyle a=[a_{x},a_{y},a_{z}]}$ w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

${\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.}$

Jeżeli ${\displaystyle a=[a_{x},a_{y},a_{z}]}$ i ${\displaystyle b=[b_{x},b_{y},b_{z}]}$ są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora ${\displaystyle c=b-a}$ wynosi

${\displaystyle |c|=|b-a|={\sqrt {(b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}}}.}$

Liczby ${\displaystyle |a|,|b|,|c|}$ są długościami boków trójkąta ${\displaystyle oab,}$ gdzie ${\displaystyle o=(0,0,0).}$

Trójkąt prostokątny o bokach ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} .}$

Wektory ${\displaystyle a,b}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt ${\displaystyle oab}$ jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:

${\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2},}$

tzn.

${\displaystyle (b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}.}$

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

${\displaystyle -2a_{x}b_{x}-2a_{y}b_{y}-2a_{z}b_{z}=0,}$

która upraszcza się do wyrażenia

${\displaystyle a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0.}$

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ w przestrzeni trójwymiarowej.

Przykłady

Przestrzenie euklidesowe

Wektory ${\displaystyle [-1,3]}$ i ${\displaystyle [3,1]}$ na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

${\displaystyle [-1,3]\cdot {\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}=-1\cdot 3+3\cdot 1=0.}$

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$, tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ tej przestrzeni definiuje się wzorem

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\mathrm {d} t.}$

W przypadku, gdy ${\displaystyle [a,b]=[-\pi ,\pi ],}$ to rodzina funkcji

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa.

Zobacz też

• dopełnienie ortogonalne
• macierz ortogonalna
• ortogonalizacja Grama-Schmidta
• ortonormalność

Przypisy